Polymeromorphic complex Itô-Hermite and Zernike functions:a systematic study, spectral analysis and applications

Abstract

Le développement important des méthodes numériques et le rôle croissant des simulations informatiques ont considérablement accru l’intérêt pour les fonctions spéciales, raison pour laquelle nous nous intéressons a` des nouvelles classes de fonctions spéciales. Dans ce travail, nous pro- posons premièrement une étude théorique d’une nouvelle famille de fonctions orthogonales sur le plan C∗ étendant les polynômes poly-analytiques Itoˆ–Hermite au cadre poly-meromorphes. Nous résolvons les problèmes aux valeurs propres du Laplacien magnétique perturbé par un vecteur potentiel singulier et modélisant l’effet d’Aharonov-Bohm. De plus, nous définissons une nouvelle famille de fonctions de type Hermite d’ordre réel β par une formule de Rodrigues fractionnaire et faisant appel a` la dérivée de Caputo. Nous donnons également certaines de leurs propriétés ainsi que leur représentation en terme de la fonction hypergéométrique confluente. Nous considérons ensuite une famille de fonctions de Zernike fractionnaires sur le disque unité´ étoile, généralisant les polynômes de Zernike classiques. Principalement, nous montrons qu’il s’agit de fonctions propres de carré intégrable, orthogonales pour certain Laplacien magnétique perturbe, et nous établissons leurs propriétés algébriques et analytiques comme la description de leurs zéros, les équations différentielles, les relations de récurrence et les formules opérationnelles qu’ils satisfont. De plus, nous discutons leur régularité´ en tant que fonctions poly-meromorphes et obtenons leurs représentations intégrales et fonctions génératrices, dont une bilinéaire de type Hardy–Hille. De plus, nous prouvons qu’une sous-classe tronquée définit un système orthogonal complet dans l’espace de Hilbert sous-jacent donnant lieu a` une décomposition orthogonale hilbertienne spécifique pour une classe d’espaces de Bergman généralises.