Relative Homological Notions in Graded Module Category and Sheaf Category

Abstract

Les anneaux et les modules gradués sont des sujets classiques en algèbre, et la théorie homologique des anneaux gradués revêt une grande importance en géométrie algébrique, notamment dans le contexte des catégories de faisceaux. Au cours des dernières années, la théorie homologique relative des anneaux gradués a été l’objet d'études par de nombreux chercheurs et est devenue un domaine de recherche particulièrement actif. En outre, nous remarquons qu’au fil des dernières années, de nombreux auteurs ont adopté une nouvelle approche dans l’analyse de la projectivité, de l’injectivité et de la platitude classiques des modules. Ils ont ainsi introduit des domaines relatifs de modules comme un moyen d’évaluer le niveau de platitude d’un tel module, plutôt que de se limiter à déterminer s’il est projectif ou non. L’objectif de cette thèse se répartit en trois directions. Les deux premières parties se concentrent sur l’algèbre homologique relative dans la catégorie des modules gradués, tandis que la troisième partie aborde un domaine spécifique de platitude relatif dans les catégories de faisceaux. Premièrement, nous introduisons et étudions les notions de modules n-FP-gr-injectifs de Gorenstein et de modules n-gr-plats de Gorenstein. Plusieurs concepts fondamentaux de l’algèbre homologique de Gorenstein relative sont caractérisés sur les anneaux n-gr- cohérents. Dans la deuxième partie, nous introduisons et explorons la notions de modules n-FCP-gr-projectifs. Ensuite, nous étudions dans quelles conditions cette classe de modules et sa classe orthogonale droite forment une paire cotorsion parfaite héréditaire. Enfin, nous développons un nouveau traitement de la platitude géométrique dans les catégories de faisceaux qui éclaire certains de ses aspects importants. Notamment, en termes de cette nouvelle approche, certains schémas classiques sont caractérisés et de nouveaux résultats sont établis.