Adaptive moving least squares meshless methods and its applications for solving a class of mixed integral equations and integro-differential equations

Abstract

L'objectif principal de cette thèse est de contribuer au développement et applications d'une méthode sans maillage qui se base sur le principe des moindres carrés mobiles (MLS). Dans le but de se libérer des problèmes dus à la singularité de la matrice moment dans l'approximation MLS, nous construisons une approximation des moindres carrés mobiles modifiée (MMLS) et une approximation des moindres carrés mobiles régularisée (RMLS) et nous appliquons ces méthodes pour résoudre différentes classes des équations intégrales et intégro-différentielles dans des domaines rectangulaires et non rectangulaires et en dimension deux et trois. Dans la première partie de cette thèse, nous avons développé une méthode sans maillage qui se base sur le principe des moindres carrés mobiles modifié et nous l’avons appliqué pour résoudre les équations intégrales mixtes du second type en dimension deux et trois. Dans le Chapitre 2, nous appliquons cette nouvelle approche pour la résolution des équations intégrales mixtes linéaires et non linéaires de Fredholm-Volterra, et aussi pour la résolution des équations intégrales de Fredholm-Hammerstein dans des domaines non rectangulaires. Étant donné que les méthodes sans maillage sont très efficaces en raison de leur indépendance de dimension, dans le Chapitre 3, nous étendons cette méthode à la dimension trois pour la résolution numérique des équations intégrales linéaires et non linéaires de Volterra-Fredholm de deuxième type. Une étude d’erreur a été faite et des tests numériques sont présentés pour mettre en évidence le gain en précision des résultats en comparaison avec l’approche MLS classique et pour montrer la fiabilité de notre approche. La deuxième partie concerne l'étude numérique des équations intégrales stochastiques et des équations intégro-différentielles fractionnaires. Des phénomènes non déterministes apparaissent de plus en plus dans de nombreux domaines et cela peut être naturellement modélisé par des équations intégrales stochastiques qui dépendent généralement du temps et des termes aléatoires. Étant donné que la résolution analytique des équations intégrales stochastiques est très difficile et n'est pas disponible dans la plupart des cas, il est donc indispensable de donner des approximations numériques. Dans le Chapitre 4, une nouvelle adaptation du schéma basé sur l'approximation des moindres carrés mobiles régularisée (RMLS) est utilisée pour résoudre des équations intégrales stochastiques en dimension deux. Cette approche est proposée pour éviter la singularité de la matrice moment qui apparaît dans la méthode MLS classique. Le but du calcul fractionnaire est de généraliser les dérivées d’ordre entier à d’ordre non-entier. L’étude des problèmes fractionnaires est d’actualité, et de plus en plus les recherches se concentrent sur l'étude des équations fractionnaires stochastiques en raison de leur applicabilité pour modéliser des trajectoires aléatoires. Dans le Chapitre 5, nous utilisons l'approximation des moindres carrés mobiles (MLS) pour résoudre certaines classes des équations différentielles fractionnaires stochastiques et pour estimer l'intégrale singulière et stochastique obtenue dans le schéma, nous avons utilisé la formule composite de Gauss Legendre et la somme de Riemann. Des exemples numériques sont traités pour valider notre approche.