"Étude des applications additives dans un anneau premier à involution "

Abstract

La relation entre la structure des anneaux non commutatifs et le comportement de certaines applications additives (dérivations, dérivations généralisées, homomorphismes,…) définies sur les anneaux en considération, a été l’objet de plusieurs études durant ces 60 dernières années surtout après le fameux résultat de Posner en 1957: "Un anneau premier, ayant une dérivation non nulle centralisante, est nécessairement commutatif". La contribution présentée dans le cadre de cette thèse est motivée par ces travaux de recherche. Ainsi on a élaboré des identités algébriques faisant intervenir des dérivations, des endomorphisms ou des n-dérivations symétriques permettant de déterminer la structure de certains anneaux non commutatifs. Après le rappel de quelques notions de base, des définitions préliminaires et des résultats importants, qui sont utilisés par la suite, nous avons étudié la commutativité d’un anneau premier admettant des applications additives satisfaisant certaines identités algébriques spécifiques. Ainsi nous avons introduit de nouvelles classes permettant la classification de certains endomorphismes. Ceci nous a accordé des résultats concernant des propriétés algébriques de certains anneaux : la commutativité et dans certains cas la forme exacte de ces applications. Ensuite nous avons introduit de nouvelles notions permettant de déterminer la structure de l’anneau via le comportement des dérivations ou des n-dérivations symétriques. Ainsi nous avons donnés des conditions nécessaires et suffisantes pour que l'anneau soit commutatif et dans certains cas on a déterminé la caractéristique de l’anneau. En outre, quelques résultats caractérisant la commutativité des anneaux premiers ont été généralisés. Notre contribution tout au long de cette thèse, a été validée par des contre-exemples justifiant la nécessité des conditions imposées.