Schémas volumes finis implicites linéarisés pour des modèles de chimiotaxie

Abstract

Les résultats présentés dans cette thèse sont dédiés à l’analyse et au développement de schémas numériques pour des modèles de chimiotaxie. Nous nous intéressons particulièrement à des systèmes d’équations aux dérivées partielles non-linéaires se basant sur le modèle de Keller-Segel et décrivant la formation de motifs soit dans le domaine de la bactériologie, ou dans le domaine du développement embryonnaire. Pour tous ces modèles, nous présentons des approximations numériques adoptant une discrétisation temporelle implicite linéarisée. Cette approche permet d’obtenir des schémas linéaires découplés afin d’éviter le coût élevé de la résolution d’un système non-linéaire couplé. En ce qui concerne la discrétisation spatiale, nous adoptons des schémas volumes finis utilisant des approximations de type upwind, exponentiel ou hybride (upwind/centré), dans le but d’assurer la positivité et la stabilité de la solution numérique. Ce travail a deux objectifs principaux : le premier objectif consiste à donner une analyse mathématique des schémas proposés. Ainsi, dans les différents chapitres de cette thèse, nous prouvons l’existence, l’unicité, la positivité et la convergence de la solution numérique. Les schémas implicites linéaires usuels ayant comme désavantage principal leur manque de précision, notre deuxième objectif est de développer de nouveaux schémas du même type qui soient plus précis et plus performants. Dans le chapitre 4, nous construisons ainsi un schéma semiexponentiel en temps pour des modèles de chimiotaxie-croissance. Un schéma découplé corrigé pour une classe de modèles de chimiotaxie est aussi développé dans le chapitre 5. Plusieurs simulations et tests numériques sont présentés dans cette thèse afin de valider les résultats théoriques obtenus et pour démontrer l’efficience des méthodes développées.