Fractional Calculus in Variable Exponent Variational Problems and Epidemiological Models

Abstract

Cette thèse s’intéresse au calcul fractionnaire en abordant ses bases théoriques dans les problèmes variationnelles á exposants variables et ses applications aux prédictions épidémiologiques. Nous analysons les problèmes isotropes fractionnaires, en mettant l’accent sur une diversité de méthodes variationnelles employées pour établir l’existence de solutions faibles pour divers types de problèmes, incluant les équations de type Kirch- hoff, les problèmes bi-nonlocaux, les conditions aux limites de Neumann non locales et les problèmes singuliers. S’appuyant sur cette base, la dissertation introduit un nouveau cadre pour les espaces de Sobolev fractionnaires anisotropiques á exposants variables, afin de mieux appréhender des comportements directionnels. Nous analysons les propriétés élémentaires de ces espaces ainsi que le Laplacien fractionnaire anisotropique, démontrant leur adaptabilité aux problèmes variationnelles avec des dépendances directionnelles. De surcroît, nous considérons l’application du calcul fractionnaire dans la modélisation des dynamiques épidémiologiques et des maladies agricoles. Un modèle d’ordre fractionnaire pour la maladie mosaïque du manioc (CMD) est élaboré en utilisant la dérivée de Caputo pour intégrer les effets de mémoire. Nous étudions également les dynamiques de l’abus de substances chez les femmes en utilisant des modèles fractionnaires avec les dérivées de Caputo et d’Atangana-Baleanu, intégrant des stratégies de contrôle dépendantes du temps. Des simulations numériques appliquées aux deux modèles illustrent la précision et l’adaptabilité des méthodologies fractionnaires dans la prédiction des dynamiques épidémiologiques, tout en apportant des éclairages enrichis sur les systèmes agricoles et les problèmes de santé publique.