Etude des symétries de Lie de quelques équations différentielles non linéaires

Abstract

Le but de ce travail est de développer la méthode des symétries de Lie dans la résolution algébrique des équations aux dérivées partielles non-linéaires. En effet, nous avons déterminé la solution la plus générale du système déterminant les symétries de l’équation de Thomas, nous avons classifié les solutions invariantes de cette équation, ce qui a permis la construction de certaines solutions exactes. L’étude des symétries de l’équation de Burger généralisée a fait également partie de notre travail. C’est ainsi qu’on a employé les symétries infinies pour aboutir à une application qui permet de transformer notre équation en l’équation de la chaleur. Ensuite, dans le cas de g(u)= u⁻₁, l’utilisation des symétries infinies et de la solution fondamentale de l’équation de la chaleur a permis d’obtenir une solution exacte. Nous avons montré que si la fonction g(u) n’est pas une constante, alors l’équation de Burger généralisée n’admet pas de symétries de lie-bâcklund d’ordre K (K ≥ 2). Nous avons également déterminé le système optimal des sous-algèbres. A une dimension, de l’algèbre des symétries de l’équation de Burger. Un tel système nous a été utile dans la réduction du nombre de variables indépendantes. Cette réduction nous a conduites à une famille d’équations différentielles permettant ainsi de construire des solutions exactes de l’équation de Burger. Dans cette thèse, nous avons étudié aussi les symétries de l’équation d’onde non-linéaire. L’étude de cette équation est consacrée à la détermination des symétries projectives. Ces symétries dont le groupe correspondant n’opère que sur les variables indépendantes ont été d’une grande importance pour obtenir des solutions explicites.