Khalil LAMSAF

Abstract

Cette thèse explore des polynômes poly-analytiques avancés, en étendant spécifiquement les polynômes classiques de Gould-Hopper à deux variables complexes et en introduisant des polynômes de Hermite bivariés poly-analytiques. Premièrement, nous étendons les polynômes classiques de Gould-Hopper pour inclure deux variables complexes, incorporant les polynômes de Itô-Hermite holomorphes et polyanalytiques en 1-D et 2-D comme cas particuliers. Cette étude examine leurs représen- tations opérationnelles, fonctions génératrices et relations de récurrence. Nous établissons de nombreuses identités spéciales, y compris des formules de multiplication, des formules d’addition de type Runge et des formules de type Nielson. Les équations différentielles partielles d’ordre supérieur sont analysées, révélant des connexions avec les polynômes de Gould-Hopper et les fonctions hypergéométriques. Deuxièmement, nous introduisons une nouvelle classe de polynômes de Hermite bi- variés poly-analytiques. Ceux-ci se révèlent réalisables sous la forme de la transformée de Fourier-Wigner des fonctions de Hermite complexes univariées, formant une base orthog- onale significative dans l’espace de Hilbert classique sur un espace à deux variables com- plexes par rapport à la mesure gaussienne. Nous explorons leurs propriétés fondamen- tales, y compris les relations de récurrence à trois termes, les réalisations opérationnelles et les équations différentielles (propriété de Bochner) qu’ils satisfont. De plus, nous dérivons diverses fonctions génératrices ainsi que des représentations opérationnelles intégrales et exponentielles.