Exploring Holomorphic and n-Analytic Automorphic Functions: Poincaré Theta Operator, Creation Operator & Spectral Analysis on Mixed Automorphic Functions

Abstract

Dans cette thèse, nous nous sommes consacrés à l’étude de la théorie des fonctions automorphes holomorphes associés à un sous-groupe discret donné dans (C, +), ainsi qu’à la caractérisation détaillée de l’espace des fonctions automorphes de seconde espèce, communément appelées fonctions automorphes "mixed" associe à un sous-groupe discret donné du groupe semi-direct U(1)⋉C. En abordant la construction de fonctions automorphes à l’aide de la série (Opérateur) thêta de Poincaré, nous explorons leurs propriétés. Plus précisément, nous démontrons que cet opérateur est rigoureusement défini dans des espaces spécifiques et nous fournissons une description détaillée de son noyau en utilisant des fonctions spéciales. Nous proposons une caractérisation précise pour la catégorie des fonctions automorphes poly-analytiques planaires, qui se manifestent en tant qu’images de fonctions holomorphes par l’intermédiaire de l’opérateur différentiel de création U(n) ν . Nous donnons la caractérisation de l’image de l’opérateur U(n) ν sur l’espace de Hilbert H2,ν Γ (C), nous traitons le problème de la surjectivité et montrons qu’il préserve l’orthogonalité dans L2,ν Γ (C). Enfin, nous utiliserons cet opérateur comme un outil de correspondance pour détailler la construction des bases orthogonales des espaces de Bargmann–Fock généralisés F2,ν Γ,n(C) pour les sous-groupes discrets à un et deux rangs. En ce qui concerne la seconde espèce, le facteur d’automorphie est en relation avec une paire équivariante donnée (ρ, τ ). Nous avons partiellement caractérisé les paires équivariantes dans le cadre de notre étude et envisagé la possibilité d’une généralisation à des dimensions supérieures. Pour mener cette analyse, nous utilisons un théorème d’élévation vers des fonctions automorphes classiques. De plus, nous effectuons une analyse spectrale approfondie d’un opérateur de Schrödinger magnétique invariant agissant sur des fonctions automorphes "mixed".