Mathematical Analysis and Threshold Refinement of some Stochastic Epidemic Models with White Noises and Lévy Jumps

Abstract

L’ÉPIDÉMIOLOGIE mathématique est un domaine basé sur l’utilisation de modèles et d’outils mathématiques pour comprendre et analyser la dynamique de propagation des maladies infectieuses au sein des populations humaines. En termes plus clairs, il permet de formuler des équations pouvant décrire la transmission et la propagation des épidémies et donne ensuite une vision des stratégies appropriées à adopter pour les atténuer. D’une manière générale, l’utilisation de modèles mathématiques en épidémiologie augmente notre capacité à interpréter les données empiriques, à faire des prédictions éclairées et à orienter les politiques de santé publique. Néanmoins, un nombre croissant d’observations expérimentales confirment l’impact significatif des fluctuations externes sur la dynamique des maladies infectieuses, ce qui fait de leur inclusion dans les phases de modélisation et d’analyse une très bonne valeur ajoutée. Pour cette raison, l’adoption de modèles probabilistes constitue un très bon choix, voire l’un des meilleurs pour étudier les maladies transmissibles. En effet, l’intégration de la stochasticité permet une représentation plus réaliste de la propagation des maladies infectieuses, en reconnaissant l’impact des événements inattendus et des changements démographiques. Cependant, l’analyse de ce type de modèle nécessite des techniques analytiques avancées en raison de leur complexité. Pour relever ce défi, cette thèse se consacre à l’exploration de la dynamique de propagation de quelques modèles épidémiques influencés par des bruits environnementaux naturels continus et des phénomènes soudains et imprévus. Dans un cadre théorique approprié, nous introduisons de nombreuses approches nouvelles et non standard pour dériver certaines propriétés asymptotiques des modèles perturbés. Ces propriétés englobent la stabilité, la persistance en moyenne, l’extinction de la maladie et le comportement à long terme en général. Chaque chapitre se termine par des simulations numériques validant les résultats théoriques et illustrant d’une manière claire la précision des conditions et des seuils obtenus. D’une manière générale, cette thèse améliore diverses études existantes dans le domaine de l’épidémiologie mathématique stochastique, en proposant des méthodologies alternatives pour aborder et analyser des modèles épidémiologiques et biologiques plus compliqués.