Mathematical Analysis of Some Stochastic Infectious Disease Models with White Noises and Lévy Jumps

Abstract

L’ÉPIDÉMIOLOGIE offre des moyens et des outils appropriés pour spécifier dans quelle mesure les facteurs de risque et les stratégies d’intervention influencent la santé publique en cas d’épidémie. Ces méthodes comprennent des enquêtes, des analyses de données, des contrôles et des évaluations appropriées. Dans ce domaine, la modélisation mathématique joue un rôle intrinsèque dans l’élucidation de l’impact des répercussions des maladies transmissibles et la prédiction de scénarios futurs probables. L’application des modèles mathématiques à l’épidémiologie nécessite une caractérisation des variables qui affectent le comportement d’une maladie afin d’obtenir une série d’équations dont la solution concorde avec ce qui se passe dans la réalité. En conséquence, l’épidémiologie mathématique représente le principal motif de décision visant à prévenir, dominer ou éradiquer la maladie. Les données empiriques de nombreuses épidémies montrent que les fluctuations externes sont des facteurs importants dans le processus de propagation des maladies infectieuses. Sans aucun doute, les modèles stochastiques sont considérés comme la méthode la plus réaliste et la plus pratique pour simuler et étudier l’évolution d’une épidémie en cas de perturbations environnementales. L’analyse de ces modèles nécessite de nombreuses techniques analytiques avancées en raison de leur complexité et de leur difficulté. En se concentrant sur cette problématique, la présente thèse vise à traiter la dynamique évolutive de certains modèles épidémiques avec des bruits environnementaux naturels et certains phénomènes inattendus. Dans un cadre hypothétique adapté, nous proposons et développons de nouvelles approches générales et non standard pour prouver certaines propriétés asymptotiques intéressantes des modèles perturbés, à savoir: stabilité, ergodicité, périodicité, persistance dans la moyenne, extinction de la maladie, caractère à long terme autour des équilibres déterministes. A la fin de chaque section, quelques simulations numériques sont présentées pour vérifier les résultats théoriques et montrer clairement la netteté des conditions et des seuils obtenus. D’une manière générale, cette thèse améliore de nombreuses études existant dans le domaine de l’épidémiologie mathématique stochastique et fournit des outils alternatifs pour traiter et analyser des modèles épidémiologiques et biologiques plus complexes.