Familles cosinus sur les espaces localement convexes

Abstract

Dans ce travail, nous étendons certains résultats de la théorie des familles cosinus à des classes d’espaces localement convexes.

Nous introduisons la notion de famille cosinus fortement continue dans les espaces localement convexes séparés et séquentiellement complets et nous étudions de telles familles sous la condition de l’équicontinuité locale. Nous établissons une généralisation du théorème de l’unicité de l’engendrement et nous donnons une classe d’espaces localement convexes sur laquelle l’équicontinuité locale est vérifiée pour toute famille cosinus fortement continue.

Ainsi, nous introduisons la notion de famille C₀-cosinus dans les espaces localement convexes séparés et nous montrons que toute famille C₀-cosinus localement équicontinue est fortement continue.

Nous étendons ensuite un théorème de M. Sova [45] à la classe d’espaces de Fréchet-Quojection, où il s’agit de montrer que le générateur infinitésimal A de toute famille cosinus uniformément continue {C(t)}ₜ≥₀ est défini sur l’espace tout entier, et que cette dernière s’écrit sous la forme :

C(t) = ∑ₖ₌₀^∞ (t²ᵏ/(2k)!) Aᵏ, t ≥ 0.

Ceci nous permet de donner la réponse à la question de J. A. Conejero [14] dans le cas des familles cosinus.

Nous présentons une condition nécessaire et suffisante pour qu’un opérateur linéaire continu soit le générateur infinitésimal d’une famille cosinus fortement continue sur un espace de Fréchet-Quojection.

Enfin, nous prouvons que, sur la classe GDP-Quojection d’espaces de Fréchet, toute famille C₀-cosinus exponentiellement équicontinue est uniformément continue.