Analyse de la backward erreur et étude algorithmique du vecteur propre commun à deux matrices

Abstract

Alors que la simulation numérique s’emploie à résoudre des problèmes physiques de difficulté croissante, le couplage entre l’approximation numérique et le calcul en précision finie joue un rôle essentiel dans la calculabilité des solutions. L’analyse de la backward erreur apparaît aujourd’hui comme l’une des clefs de la compréhension de ce couplage. Après avoir exposé le concept de sous espace invariant commun à deux matrices et montré les limites des résultats et algorithmes proposés dans la littérature pour l’étude du vecteur propre commun à deux matrices, nous montrons que ce problème est mal posé au sens d’Hadamard. Nous démontrons la cause topologique de ce problème et nous proposons une nouvelle approche basée sur la backward erreur. Nous terminons par la présentation de deux techniques différentes pour le calcul numérique du vecteur propre commun : la première en optimisant directement la backward erreur à l’aide des méthodes BFGS et Steepest descent, la deuxième en utilisant différentes variantes de la méthode de Newton. Les algorithmes qui en découlent sont testés et validés sur différents exemples académiques.