Une approche unifiée pour l’étude des méthodes de sous-espace de Krylov pour la résolution des systèmes linéaires

Abstract

Pour résoudre un système linéaire de grande taille, on utilise souvent des méthodes itératives et des méthodes de projection. Parmi ces méthodes, on trouve les méthodes de sous-espace de Krylov. Le principe de ces méthodes repose sur la condition de Petrov- Galerkin. En effet, les méthodes de Krylov consistent à calculer une approxi- mation de la solution d’un système linéaire dans le sous-espace de Krylov, à condition que le résidu soit orthogonal à un autre sous-espace, appelé sous-espace à gauche. Le choix du sous-espace à gauche donne différentes variantes des méthodes de Krylov, qui diffèrent les unes des autres en termes de temps d’exécution, de stockage en mémoire et de précision de calcul. Notre axe de recherche porte donc sur l’amélioration de la convergence de ce type de méthodes. Nous avons contribué en proposant une ap- proche unifiée et un cadre général pour simplifier l’étude de ces méthodes en utilisant les inverses à gauche. Cette approche repose sur le fait que toutes les méthodes de Krylov calculent les coefficients du polynôme minimal de la matrice du système pour un résidu initial. En utilisant des outils mathématiques et des propriétés des projecteurs orthogonaux, nous avons pu améliorer la précision de calcul de la plupart de ces méth- odes tout en conservant le même stockage et le même temps d’exécution. Grâce à notre approche, nous avons également proposé de nouvelles implémentations qui offrent des performances de calcul intéressantes pour certaines méthodes. Le cas par bloc de ces méthodes a également été étudié.