Autour des propriétés d'Armendariz, de la cohérence et de Bézout

Abstract

La pr´esente th`ese a pour but l’´etude de trois notions en alg`ebre `a savoir: (i) la notion Armendariz, (ii) la coh´erence et (iii) quelques propri´ et´es li´ees `a la notion de B´ezout. La pr´esente ´etude se fera dans diff´erents contextes notament l’extension triviale, le produit direct, l’image homomorphe, l’amalgam´e classique et la bi-amalgamation alg´ebrique. (i) A l’hommage de E. Armendariz (1974), Rege et Chhawchharia ont introduit en 1997 une nouvelle notion en alg`ebre non commutative appel´ee la propri´ et´e Armendariz. D`es lors, plusieurs g´en´eralisations de cette notion sont apparues en l’occurrence Skew Armendarizen2003parChanYongHongetd’autres,Weak-Armendarizen2006parLiu etZhao,nil-Armendarizen2008parR.AntoineetPowerserieswiseArmendarizen2006 par Kim et al. (ii)leconceptdelacoh´erenceestsurgidel’´etudedesfaisceauxcoh´erentseng´eom´etrie alg´ebrique, puis d´evelopp´e sous l’influence de la th´eorie et d’homologie des anneaux Noeth´eriens, vers un sujet `a part enti`ere dans l’alg`ebre. Depuis les 30 derni`eres ann´ees, plusieursnotionscommutativessontn´eesdelacoh´erencecommelapropri´ et´edeconducteur fini, la n-coh´erence, la n-coh´erence forte et autres propri´ et´es. (iii) La partie arithm´etique de cette th`ese est consacr´ee `a quelques notions li´ees ` a la notion d’anneau de B´ezout comme les anneaux `a division ´ el´ementaire, les anneaux d’Hermite, les P-anneaux de B´ezout, les 2-anneaux de B´ezout, les anneaux presque de valuation (AV-anneau) et les anneaux presque de B´ezout (AB-anneau). La th`ese comporte six chapitres rendant compte respectivement des travaux de six articles [34, 35, 36, 33, 37, 65]. Le premier chapitre concerne le transfert de la propri´ et´e Armendariz `a l’amalgam´ e alg´ebrique d’anneaux associatifs non commutatifs le long d’un id´eal. Nos r´esultats permettent de construire de nouvelles classes originales d’anneaux Armendariz. Les chapitres 2 et 3 s’int´eressent `a l’´etude de la propri´ et´e power serieswise Armendariz dans diff´erents contextes notament l’extension triviale, le produit direct, l’image homomorphe, l’amalgam´e classique. Le qutri`eme chapitre concerne le transfert de la propri´ et´e de la coh´erence dans la bi ix x CONTENTS amalgamation alg´ebrique, ce qui permet de construire de nouveaux exemples d’anneaux coh´erents non Noeth´eriens. Les chapitres 5 et 6 sont consacr´es `a l’´etude du transfert de quelques propri´ et´es arithm´etiques, `a savoir: anneau `a division ´ el´ementaire, anneau presque de valuation et anneau presque de B´ezout dans la bi-amalgamation alg´ebrique, les P-anneaux de B´ezout et les 2-anneaux de B´ezout dans l’amalgam´e classique. Notre th`ese se termine par quelques perspectives que nous souhaiterons aborder dans nos travaux futurs.