Some nonlinear elliptic inclusion problems within the non-variational framework

Abstract

L’objectif de cette thèse est d’étudier certains problèmes d’inclusion elliptique non linéaire avec des données dans L1, posés dans un domaine borné et soumis à des conditions aux limites de type Dirichlet, dans le cadre des espaces de Sobolev, des espaces de Sobolev à exposant variable et des espaces d’Orlicz-Sobolev. Ce travail, composé de six chapitres, présente des résultats d’existence, d’unicité et de régularité de solutions faibles, entropiques ou renormalisées pour des problèmes non linéaires du type mentionné ci-dessous. Après une brève présentation des définitions et des résultats préliminaires nécessaires à la compréhension de ce travail, nous établissons, au chapitre 2, l’existence de solutions faibles pour un problème elliptique fortement non linéaire de la formeβ(u)−div⁡(a(x,u,∇u))+g(x,u,∇u)∋f. Au chapitre 3, nous étudions l’existence et la régularité des solutions d’une classe de problèmes d’inclusion elliptique non linéaire à coercivité dégénérée, de la formeβ(u)−div⁡(a(x,∇u)(1+∣u∣)θ(p−1))∋f. Ensuite, au chapitre 4, nous établissons des résultats d’existence pour des problèmes elliptiques multivoques non linéaires à coefficients non bornés, dont le prototype est donné parβ(u)−div⁡(∣∇u∣p−2∇u(1−∣u∣)ρ)∋f. Au chapitre 5, nous étudions les problèmes présentés au chapitre 3 dans un cadre fonctionnel faisant intervenir les espaces de Sobolev à exposant variable. Enfin, au chapitre 6, nous présentons des résultats d’existence et d’unicité de solutions renormalisées dans les espaces d’Orlicz-Sobolev pour des problèmes elliptiques multivoques non linéaires de la forme β(u)−div(a(x,∇u)+F(u))∋f.