Algebraic structures and distance distributions of repeated-root constacyclic codes over a class of finite commutative chain rings

Abstract

La théorie du codage est l‛étude des méthodes permettant le transfert de l‛information de façon efficace et précise. Les codes constacycliques sont une famille importante des codes linéaires. La particularité de ces codes est que leur étude se ramène à la recherche des idéaux d‛un certain type d‛anneaux. En effet, construire des codes constacycliques de longueur n sur un anneau fini R reviendrait à trouver les idéaux de l‛anneau R[x]/hxn–λi, où λ est un élément inversible de R. De plus la nature des idéaux trouvés jouent un rôle déterminant dans l‛étude de certaines propriétés du code telles que la distance minimale. Cette distance minimale possède une borne, appelée borne de Singleton, qui dépend de la longueur et de la dimension du code. Les codes dont la distance minimale atteint cette borne, appelés des codes MDS, pour Maximum Distance Separable, possèdent une capacité de correction optimale. Soient p un nombre premier, s et m deux entiers positifs. Soit R = Fpm [u]/hu3i un anneau à chaîne fini, de corps résiduel le corps fini à pm éléments noté Fpm . Dans cette thèse, nous nous sommes intéressés à l‛étude des codes γ-constacycliques à racines multiples de longueur ps sur R, autrement dit, l‛étude porte sur les idéaux de R[x]/hxps – γi, où γ est un élément inversible de Fpm . Tout d‛abord, nous classifions tous les codes γ-constacycliques de longueur ps sur R en 8 types distincts et nous obtenons le nombre de mots du code dans chacun de ces codes constacycliques. De plus, en utilisant leurs structures algébriques, les distances de Hamming et paire de symboles de tous ces codes sont complètement déterminées. En application, nous identifions tous les codes MDS et de paire de symboles MDS au sein de cette classe de codes constacycliques.