approximation numérique de quelques inéquations variationnelles et application en finance

Abstract

Cette thèse introduit une nouvelle approche pour résoudre un problème d’obstacle et traite l’éva luation des options europèenes (resp. les options americaines) avec des modèles financiers, interprétée comme solution d’un système d’équations (resp. d’inéquations) aux dérivées partielles parabolique. La première partie développe une méthode numérique pour résoudre un problème d’obstacle uni latéral en utilisant la méthode de collocation de spline cubique et la méthode de Newton généralisée. Cette méthode converge quadratiquement et l’erreur d’estimation entre la solution de pénalité et la solu tion analytique est prouvée. Pour valider les résultats théoriques, des tests numériques sur un problème d’obstacle en dimension un, sont présentés. Ainsi, notre contribution, quand à l’amélioration de certains résultats cités dans les réfèrences, sera illustrée. La deuxième partie est consacrée au développement d’une méthode numérique pour évaluer des options européennes et américaines permettant de discrétiser la variable temporelle par θ-méthode, ré sultant d’une équation aux dérivées partielles (EDP), qui sera ensuite résolue numériquement par une méthode de collocation de spline cubique pour la discrétisation spatiale. Finalement, pour résoudre le système discrétisé, nous élaborerons une méthode de collocation et nous montrerons que celle ci est convergente en deuxième ordre. Les résultats numériques sont présentés et comparés avec les autres mé thodes de collocation données dans la littérature.