Étude de quelques EDP fractionnaires via la théorie de Morse, le degré topologique et les méthodes variationnelles

Abstract

Dans cette thèse, notre objectif principal est d’introduire quelques espaces de Sobolev fractionnaires à exposant variable et à fonction noyau sur des variétés riemanniennes compactes ((M,g)). En outre, nous démontrons les propriétés fondamentales de ces espaces, telles que la complétude, la réflexivité, la séparabilité, l’injection de Sobolev et la densité.

Le deuxième objectif de cette thèse est d’étudier quelques problèmes elliptiques non locaux dans le cadre des espaces de Sobolev généralisés sur des variétés compactes ((M,g)).

Nous avons divisé notre thèse en cinq chapitres :

• Dans le premier chapitre, nous présentons l’état de l’art et les outils mathématiques, puis nous exposons les principaux résultats avec un aperçu des démonstrations.

• Dans le deuxième chapitre, nous étendons les espaces de Sobolev à exposants variables afin de couvrir le cas fractionnaire sur des variétés compactes. En utilisant les méthodes variationnelles, nous étudions l’existence d’une solution au problème elliptique suivant :

[ \begin{cases} (-\Delta_g)^s_{p(z)}u(z) +V(z)|u(z)|^{q(z)-2} =f(z,u(z)), & \text{dans } Q,\[4pt] u=0, & \text{sur } \partial Q. \end{cases} ]

• L’objectif principal du troisième chapitre est de démontrer les propriétés fondamentales d’un nouvel espace de Sobolev fractionnaire avec une fonction noyau. Comme application, nous utilisons les méthodes de degré topologique pour résoudre le problème suivant :

[ \begin{cases} (L_K^g)^s_{p(y,\cdot)}w(y) =\lambda\beta(y)|w(y)|^{r(y)-2}w(y) +f(y,w(y)), & \text{dans } U,\[4pt] w=0, & \text{dans } M\setminus U. \end{cases} ]

• Dans le quatrième chapitre, nous étudions l’existence d’un nombre infini de solutions pour des problèmes fractionnaires à double phase impliquant un terme singulier. Les résultats présentés dans ce chapitre sont fondés sur la théorie de Morse et le calcul du groupe critique.

• Dans le dernier chapitre, nous étudions la multiplicité des solutions pour un problème fractionnaire de Kirchhoff (p(x,\cdot)) impliquant une non-linéarité logarithmique :

[ \begin{cases} M\left(J_{s,p(x,\cdot)}u\right) (-\Delta)^s_{p(x,\cdot)}u =\lambda |u|^{r(x)-2}u\log|u| +\lambda f(x,u), & \text{dans } U,\[4pt] u=0, & \text{dans } \mathbb{R}^{N}\setminus U. \end{cases}

L’approche est fondée sur le calcul du groupe critique et la théorie de Morse.