Egalité du spectre de descente et théorie spectrale des semi-groupes

Abstract

Dans cette th`ese nous ´etudions d’une part la relation entre le spectre de descente σdesc(T) d’un op´erateur lin´eaire born´e T sur un espace de Banach X et le spectre σdesc(T,B(X)) de descente de T comme un ´el´ement de l’alg`ere de Banach B(X). D’autre part, la relation entre σdesc(T) et le spectre de descente essentielle σedesc(T) de T. Plus pr´ecis´ement, nous ´etudions les deux questions suivantes : (⋆) Sous quelles conditions sur T on a σdesc(T) = σdesc(T,B(X))? (⋆⋆) Sous quelles conditions sur T on a σdesc(T) = σedesc(T)? La r´eponse a` (⋆) est affirmative si T satisfait la SVEP. L’´egalit´e est obtenue aussi lorsque toute com posante connexe de ρdesc(T) (respectivement ρsu(T)) rencontre le r´esolvant ρ(T) (respectivement ρp(T)). Pour la question (⋆⋆), nous montrons que si T∗ poss`ede la SVEP, alors σdesc(T) = σedesc(T). Nous pr´esentons aussi certains aspects de la th´eorie spectrale des semi-groupes (semi-groupes fortement continus, semi-groupes int´egr´es) des op´erateurs, notamment nous ´etablissons les inclu sions spectrales d’un semi-groupe pour plusieurs parties du spectre.