Existence, multiplicity and stability results for Stieltjes differential equations and applications

Abstract

Ce manuscrit étudie l’existence et la multiplicité de solutions pour les équations différentielles de Stieltjes en utilisant la méthode des sous et sur-solutions ainsi que la théorie de l’indice de point fixe. Il examine également la prolongation des solutions sur la demi-droite réelle positive pour introduire des résultats de stabilité de type Lyapunov dans le contexte de ces équations. Des exemples pratiques sont fournis pour démontrer les implications concrètes de nos résultats et mettre en évidence l’applicabilité des équations différentielles de Stieltjes dans la modélisation de divers phénomènes. Ces équations utilisent la dérivée de Stieltjes, qui implique une différenciation par rapport à une fonction continue à gauche et croissante appelée le dérivateur. En différenciant par rapport à cette fonction, on simplifie la modélisation des phénomènes comportant des discontinuités et des périodes stationnaires, ce qui réduit le terme du côté droit, et intègre les propriétés du dérivateur telles que les sauts et les périodes stationnaires dans la solution. Après avoir introduit les préliminaires et les outils fondamentaux du calcul de Stieltjes, nous nous penchons sur la motivation derrière l’introduction de la dérivée de Stieltjes. Ensuite, nous établissons des résultats d’existence et de multiplicité pour les équations de Stieltjes du premier ordre avec des conditions aux limites périodiques ou initiales, en utilisant la méthode des sous et sur-solutions ainsi que la théorie de l’indice de point fixe. Nous généralisons ensuite ces résultats aux systèmes d’équations différentielles de Stieltjes, établissant également des résultats d’existence pour les systèmes fonctionnels. Nos principaux résultats n’impliquent pas de conditions de monotonie imposées au second membre. Enfin, dans le dernier chapitre concernant les systèmes dynamiques de Stieltjes, nous nous concentrons sur l’extension des solutions sur la demi-droite réelle positive et la notion de solutions maximales pour introduire des résultats de stabilité au sens de Lyapunov. Des applications concrètes sont fournies à la fin de chacun des trois derniers chapitres, illustrant les découvertes théoriques.