Caractérisations des différents types d’algèbres par les fonctions qui opèrent sur elles

Abstract

Ce travail porte sur la caractérisation des différents types d’algèbres par les fonctions qui opèrent sur elles. La première partie trouve son origine dans les travaux de A. El Kinani qui prolongent, au cas des alg`ebres de Banach complexes unitaires, les r´esultats de Y. Katznelson obtenus dans le cas des algèbres de Banach complexes unitaires semi-simples et commutatives. Ainsi, nous examinons d’abord, l’opération spectrale, dans les algèbres complexes unitaires, non n´ecessairement topologiques. Nous abordons ensuite le cas des algèbres topologiques. En op- tant pour une démarche similaire à celle de l’opération spectrale, nous fournissons une étude de l’opération faible tout en comparant certains résultats obtenus. Nous avons examiné ´également l’opération au sens de Katznelson dans les alg`ebres localement convexes, et fourni un th´eor`eme de structure des alg`ebres m-convexes unitaires commutatives semi-simples complètes de dimension dénombrable. La deuxième partie est consacrée a` l’´étude de la question suivante : Existe- t-il des classes d’algèbres ou` le résultat de I. Kaplansky suivant reste valide ? ”Si A est une algèbre de Banach complexe dont le spectre de chaque ´élément est fini, alors A est de dimension finie modulo son radical de Jacobson ”. Nous fournissons un exemple d’une Q-algèbre m-convexe unitaire commutative complète semi-simple spectralement finie dont le radical de Jacobson n’est pas de codimension finie. Ensuite, nous montrons que pour la classe des algèbres de Fréchet, la r´eponse a` la question pos´ee est positive. Puis, nous montrons que si A est une Q-algèbre de Fréchet unitaire spectralement finie sans ´éléments quasi-nilpotents non nuls, alors A est isomorphe `a Cn ou` n ∈ N∗. On ´établit, ´également que toute algèbre complexe unitaire algébrique sans ´éléments nilpotents non nuls est commutative et semi-simple. Nous donnons a` la fin, sous forme d’annexe, un résultat donnant la structure d’une Q-algèbre de Fréchet unitaire A vérifiant : Ax2 = Ax, pour tout x dans A.