Contribution aux théorèmes limites en probabilités : loi forte des grands nombres et simulations

Abstract

Le but de ce projet de thèse est, d’une part, de présenter et de démontrer de nouveaux résultats concernant la loi forte des grands nombres, que ce soit dans le cas de l’intégration de Bochner ou dans celui de l’intégration de Pettis. D’autre part, il vise à donner quelques applications concrètes de la loi forte des grands nombres. Dans ce manuscrit, nous avons contribué à la résolution de trois types de problèmes dans la théorie des probabilités et des statistiques en général, et dans celle de la loi forte des grands nombres en particulier, à savoir : la relation entre la loi forte des grands nombres et les suites adaptées, la convergence des espérances conditionnelles d’ensembles aléatoires Pettis-intégrables et, finalement, la loi forte des grands nombres dans le cadre de l’intégration de Pettis. Dans ce contexte, nous avons démontré la loi forte des grands nombres (LFGN) pour les suites adaptées. Dans ce sens, nous avons établi la relation entre la loi forte des grands nombres et les martingales. Comme application, nous avons donné la loi forte des grands nombres pour les mils et les surmartingales multivoques. Nous avons également étudié la convergence des espérances conditionnelles d’ensembles aléatoires Pettis-intégrables. Cette étude a abouti à de nouvelles versions du théorème de type Lévy pour des suites de tribus décroissantes et du théorème de convergence dominée pour les espérances conditionnelles, toujours dans le cadre de l’intégration de Pettis. Par la suite, nous avons utilisé les résultats de convergence des espérances conditionnelles Pettis-intégrables, ainsi que des techniques de martingales inverses, pour démontrer la loi forte des grands nombres pour des ensembles aléatoires Pettis-intégrables. Dans ce contexte, plusieurs résultats auxiliaires sont abordés.