Préservations non nécessairement additives de certaines parties de G, X ou de B(X) ainsi que la dimension

Abstract

Dans cette thèse, nous nous intéressons à certains problèmes de préservation. De manière générale, ces problèmes consistent à caractériser les applications entre deux algèbres de Banach qui préservent une propriété, une relation ou un sous-ensemble donné. Au chapitre 3, nous déterminons la forme des applications ϕ :B(X)→B(X) satisfaisant la condition {ϕ(A)⋆ϕ(B)}′={A⋆B}′pour tous A,B∈B(X),où ⋆ désigne l’une des deux opérations binaires suivantes : le triple produit ABA ou le produit de Jordan AB+BA. Pour tout A∈B(X), {A}′ désigne le commutant de A. Le chapitre 4 est consacré aux applications additives qui contractent ou dilatent le pseudospectre d’un opérateur appartenant à B(X). Nous caractérisons également les applications de B(X) dans lui-même qui préservent le pseudospectre des produits généralisés d’opérateurs. Au chapitre 5, nous caractérisons les applications ϕ:B(H)→B(H) satisfaisant la conditionσε(ϕ(A)ϕ(B)ϕ(A))=σε(ABA),pour tous A,B∈B(H),où σε(T) désigne le spectre conditionné de T, avec 0<ε<1. Le chapitre 6 est consacré à la caractérisation des applications surjectives ϕ:B(X)→B(X) vérifiant dim⁡F(ϕ(A1)⋆⋯⋆ϕ(k))=dimF(A1⋆⋯⋆Ak),pour tous A1,…,Ak∈B(X), où ⋆ désigne le produit généralisé considéré et F(T) l’ensemble des points fixes de l’opérateur. Au chapitre 7, nous caractérisons toutes les applications unitaires surjectives ϕ:B(X)→B(X) satisfaisant dimXϕ(A)ϕ(B)({1})=dimXAB({1}),pour tous A,B∈B(X). Nous caractérisons également les applications surjectives ϕ:B(X)→B(X) vérifiant Xϕ(A)ϕ(B)({1})=XAB({1}),pour tous A,B∈B(X). Ici, X T(Ω) désigne le sous-espace spectral local de l’opérateur T associé à l’ensemble Ω.