Courbes propres et application à l’étude de non-résonance sur le potentiel pour des problèmes elliptiques de Neumann

Abstract

La présente thèse porte sur deux questions principales qui s’inscrivent dans le domaine mathématique de l’analyse des équations aux dérivées partielles. Ce domaine a pour objet d’établir des liens avec des situations provenant du monde réel. Plus précisément, nous nous sommes intéressés à une classe de problèmes elliptiques avec une condition de Neumann au bord.

Cette thèse se présente sous la forme de deux parties qui ne peuvent pas être lues indépendamment l’une de l’autre. Ces deux parties sont précédées d’une introduction générale et du chapitre 1, dans lequel nous donnons un bref rappel des différents outils dont nous faisons un usage fréquent dans les autres chapitres.

➤ Dans la première partie, nous avons traité la première question principale, qui concerne l’existence des courbes propres du (p)-Laplacien avec poids. Ainsi, nous avons démontré l’existence de solutions non triviales de certains problèmes associés à une équation de type

[ \begin{cases} -\Delta_p u=f(x,\alpha,u) & \text{dans } \Omega,\[2mm] \dfrac{\partial u}{\partial \nu}=0 & \text{sur } \partial\Omega, \end{cases} ]

où

\left(\alpha m_1(x)+\beta \alpha^2 m_2(x)\right)|u|^{p-2}u, ]

avec (m_1,m_2\in L^\infty(\Omega)), en supposant que (m_1) change de signe sur (\Omega),

[ \int_{\Omega}m_1(x),dx<0, ]

et

[ \operatorname*{ess,inf}_{\Omega}m_2>0. ]

En outre, nous avons étudié certaines propriétés de ces courbes.

➤ Dans la deuxième partie, nous trouvons la réponse à la seconde question principale de ce travail, qui concerne l’étude du problème de non-résonance. Cette partie est organisée en deux chapitres.

Dans le chapitre 4, nous traitons la question de la non-résonance sous la courbe propre principale du (p)-Laplacien. C’est-à-dire que nous avons prouvé un résultat d’existence pour le problème suivant, pour tout (h\in L^\infty(\Omega)) :

[ \begin{cases} -\Delta_p u=f(x,\alpha,u)+h & \text{dans } \Omega,\[2mm] \dfrac{\partial u}{\partial \nu}=0 & \text{sur } \partial\Omega, \end{cases} ]

où

\alpha m_1(x)|u|^{p-2}u + m_2(x)g(u), ]

avec (g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}) continue, en se basant sur une approche qui repose sur la notion de degré de Leray-Schauder.

Dans le chapitre 5, nous traitons la question de la non-résonance entre les deux premières courbes propres du (p)-Laplacien avec poids, mais ici seulement dans le cas linéaire (p=2).