Existence and multiplicity results for some parametric anisotropic elliptic problems

Abstract

L’objectif de cette thèse est double : La première partie est consacrée à l’étude de certains probl`emes elliptiques anisotropes. Plus précisément, nous examinons deux problèmes elliptiques anisotropes paramétriques avec des conditions aux limites de Dirichlet et de Robin, dans le but d’établir l’existence et la multiplicité de solutions. Un d'éfi majeur se présente lorsque l’on traite de l’existence de solutions, notamment lorsque les non-linéarités dépendent du gradient. Cela implique que des méthodes variationnelles telles que le théorème du Mountain Pass ne peuvent pas ˆêtre utilisées. Pour surmonter cet obstacle, nous utilisons une méthode topologique basée sur la subjectivité des operateurs pseudomonotones, comme d'emontré par Carl et al. [24]. De plus, nous établissons l’unicité de la solution. De plus, nous relâchons la dépendance au gradient des non-linéarités et prouvons un résultat de multiplicité pour trois solutions faibles en utilisant le principe variationnel de Ricceri. Dans la deuxième partie, nous étudions les probl`emes de r´esonance et de non-résonance pour certains systèmes elliptiques paramétriques. Dans les deux cas, les informations disponibles concernant le spectre de Lusternik-Schnirelmann du problème de valeurs propres associées sont limitées. Dans le cas de la résonance, nous nous concentrons sur un système elliptique paramétrique ou` les non-linéarités impliquent une convection et la convolution de la solution. A l’inverse, dans le cas de la non-résonance, nous examinons la solvabilité à gauche de l’infimum positif de toutes les valeurs propres pour certains problèmes elliptiques quasi-lin´eaires non-r´esonants avec des exposants variables. Nous établissons l’existence de la solution en utilisant la même méthode, `a savoir la subjectivité des operateurs pseu- domonotones, l’unicité étant prouvée` a l’aide d’arguments similaires. Enfin, nous considérons des systèmes de type gradient et prouvons l’existence d’une solution en utilisant une approche variationnelle.