Une étude de certaines propriétés des graphes dans le contexte des graphes des diviseurs de zéro des anneaux commutatifs

Abstract

Cette thèse traite des concepts et des problèmes en relation avec la théorie des graphes et la théorie des anneaux commutatifs. Plus précisément, nous étudions certaines propriétés graphiques dans le contexte de certains graphes associés aux anneaux commutatifs. En particulier, nous étudions les notions de k-alliance défensive globale, de partitionnement en alliance défensive globale, de complémentarité et de complémentarité unique dans le contexte des graphes des diviseurs de zéro et des graphes des diviseurs de zéro étendus des anneaux commutatifs. La k-alliance défensive globale est une notion très étudiée en théorie des graphes, elle offre une méthode de classification des graphes basée sur les relations entre les membres d’un ensemble particulier de sommets. Dans cette thèse, nous explorons cette notion dans les graphes des diviseurs de zéro des anneaux commutatifs finis. Les résultats établis généralisent et améliorent le travail récent de Muthana et Mamouni, dans [62], qui ont traité un cas particulier pour k = −1, connu sous le nom d’alliance défensive globale. Un autre problème bien étudié en théorie des graphes est le partitionnement de l’ensemble des sommets d’un graphe. Il implique de diviser l’ensemble des sommets d’un graphe en sous-ensembles ou partitions disjointes, en fonction de certains critères ou contraintes spécifiques. Nous sommes également intéressés par le partitionnement du graphe des diviseurs de zéro d’un anneau commutatif en alliances défensives globales. Ce problème a été bien étudié en théorie des graphes. Ici, nous le relions au contexte théorique des anneaux. Nous caractérisons divers anneaux commutatifs finis pour lesquels le graphe des diviseurs de zéro est partitionnable en alliances défensives globales. Plusieurs exemples sont également fournis pour illustrer et délimiter la portée des résultats établis. Nous abordons également les notions de complémentarité et de complémentarité unique des graphes. Ces notions ont été initialement introduites pour un graphe quelconque dans [9, 58] et ils ont ensuite été étudiées dans le cadre des graphes des diviseurs de zéro d’anneaux commutatifs. Nous poursuivons l’étude commencée dans [24] concernant le caractère complémenté ou uniquement complémenté du graphe des diviseurs de zéro étendu d’un anneau commutatif. Nous donnons une caractérisation complète du caractère complémenté du graphe des diviseurs de zéro étendu d’un anneau commutatif fini. Divers exemples sont donnés en utilisant le produit direct d’anneaux et l’idéalisation des modules. A la fin de cette thèse, nous présentons quelques propositions pour des études futures de certaines conjectures de la théorie des graphes avec une perspective dérivée de la théorie des graphes des diviseurs de zéro.