Étude de quelques problèmes non linéaires dans les espaces d’Orlicz et de Musielak-Orlicz

Abstract

Ce travail porte sur des résultats d’existence et parfois d’unicité pour des problèmes non linéaires de type Dirichlet dans des espaces modulaires non réflexifs, à savoir les espaces d’Orlicz-Sobolev et les espaces de Musielak-Sobolev. La thèse se décompose en trois parties.

Dans la première partie, nous donnons brièvement quelques rappels sur les espaces d’Orlicz-Sobolev, puis nous étudions l’existence de solutions entropiques pour des problèmes unilatéraux associés à l’équation elliptique non linéaire de type

−div(a(x,u,∇u)) + K(x,u,∇u) = m + div F(x,u) dans Ω,

où div a(x,u,∇u) est un opérateur du type Leray-Lions, K(x,u,∇u) est un terme non linéaire d’ordre inférieur vérifiant seulement la condition de croissance et F est une fonction de Carathéodory qui ne satisfait pas la condition de coercivité. Le problème est traité dans le cas non variationnel où le terme source m est une mesure de la forme m = f − div(F), avec f ∈ L¹(Ω), F ∈ (E_M(Ω))ᴺ et M est la fonction complémentaire de la N-fonction M.

Nous nous intéressons aussi aux équations paraboliques non linéaires de type

∂b(u)/∂t − div(a(x,t,u,∇u)) − div(F(x,t,u)) = f dans Q_T,

où b est une fonction strictement croissante telle que b ∈ C¹(ℝ,ℝ) et le terme source f appartient à L¹(Q). On démontre d’abord l’existence de la solution renormalisée de l’équation, puis, en imposant des conditions appropriées sur les termes b, a et F, on démontre l’unicité de cette solution.

Dans la seconde partie, on donne des préliminaires concernant les espaces de Musielak-Orlicz-Sobolev ainsi que des lemmes et théorèmes utiles pour la suite de la partie. Puis nous cherchons à établir des résultats d’existence de solutions des problèmes elliptiques non linéaires de type

−div(a(x,u,∇u)) + K(x,u,∇u) = m,

où m est une mesure de Radon bornée. Nous introduisons deux lemmes principaux afin de prouver que, pour toute fonction P de A_M (voir Définition 3.1.1), la solution u de l’équation appartient à l’espace de Musielak-W¹₀L_P(Ω).

Nous finissons cette partie par un chapitre dédié à l’étude des problèmes paraboliques non linéaires avec obstacle de type

u ≥ z dans Q_T,

∂u/∂t + div(a(x,t,u,∇u)) + K(x,t,u,∇u) = f + div(F(x,t,u)) dans Q_T,

u(x,t) = 0 sur ∂Ω × (0,T),

u(x,t = 0) = u₀(x) dans Ω.

La donnée f est un élément de L¹(Q), le terme F vérifie une condition de croissance non polynomiale. Nous prouvons l’existence de solutions en utilisant la technique de troncature, des fonctions tests adéquates et la méthode de pénalisation.

Enfin, dans la dernière partie, nous retournons au cadre des espaces d’Orlicz-Sobolev pour étudier l’existence et l’unicité de la solution numérique des problèmes paraboliques non linéaires associés au schéma numérique suivant :

∫Ω [(b(uⁿ) − b(uⁿ⁻¹))/τ v + a(∇uⁿ)∇v + F(uⁿ)∇v] dx = ∫Ω f(·,tₙ)v dx, ∀v ∈ V. (1)

où {uⁿ}ₙ₌₁ᴺ ⊂ V = {v ∈ L²(Ω) : ∇v ∈ (E_M(Ω))ᵈ, γ₀v = 0}.

On prouve d’abord l’existence d’une solution unique de l’équation sous certaines conditions sur ces termes, puis on démontre la convergence de la solution numérique vers la solution exacte de l’équation :

∂b(u)/∂t − div(a(∇u) + F(u)) = f. (2)

Ensuite, on détermine l’estimation de l’erreur de la semi-discrétisation temporelle et on finit par une simulation numérique d’un exemple.

Rappelons que tous ces résultats ne font recours ni à la condition de croissance pour le terme d’ordre inférieur, ni à la condition de Δ₂ pour la N-fonction M et son complémentaire M.