CALCULS FONCTIONNELS SIMULTANES CONTINU ET DE BAIRE ET APPLICATIONS

Abstract

Ce travail est formé essentiellement de deux parties. Dans la première, on construit et on ´etudie un calcul fonctionnel continu, dit simultané, dans le cadre des C*-algèbres m-convexes. Ce calcul étend ceux de J. Dixmier, R. Dautray, J. L. Lions, et H. Buchwalter, H. D. Tarral. Beaucoup de propriétés sont d'engagées dont le ”Spectral Mapping Théorème” et le bon comportement avec la composition. Par ailleurs, nous avons obtenu deux applications importantes, dans deux champs totalement différents. La première, dans le cadre des algèbres a` poids, constitue une version continue multi-dimension, d’un théorème de P. levy. La seconde, dans le cadre des espaces localement Hilbert, traite sur l’existence d’une base orthonormée en relation avec certains vecteurs propres liés a` une famille d’opérateurs normaux. Dans la seconde partie, il est question du calcul fonctionnel simultané de Baire dans L(H), l’alg`ebre des operateurs bornes d’un espace localement Hilbert H. Via une approche inspirée de G.R. Allan et celle de H. Bouch- walter, D. travail, on construit le calcul cité ci-dessus, pour une famille d’opérateurs normaux de H. De bonnes propriétés sont obtenues, dont une forme du ”Spectral Mapping Théorème”. Egalement, pour ce nouveau calcul, nous avons obtenu deux applications. La première établit une décomposition d’un opérateur normal en produit d’un opérateur positif et d’un operateur unitaire. La deuxième concerne le problème du ”sous-espace invariant”.