Chaos Déterministe et Quelques Aspects Ergodiques de la Théorie des Nombres en Cryptographie

Abstract

La théorie déterministe du chaos intrigue beaucoup, particulièrement en raison de ses interactions mystérieuses avec la théorie ergodique des nombres. Bien que nous utili- sions fréquemment des générateurs pseudo-aléatoires certifiés NIST, nous négligeons souvent de comprendre les raisons mathématiques de leur efficacité. Notre thèse se penche en partie sur ce sujet, à ceci près que nous nous concentrons sur les fractions égyptiennes d’irrationnels, au lieu de développements traditionnels tel le développe- ment décimal ou celui en fractions continues, plus couramment utilisés en cryptogra- phie. En adoptant la définition du chaos selon R. Devaney, nous démontrons mathé- matiquement la chaoticité d’un tel processus, créant ainsi un nouveau cryptosystème venant enrichir l’arsenal de systèmes à base de chaos déjà à notre disposition. Nous explorons ensuite des familles de fonctions injectives et lossy trapdoor (LTF), pratique- ment indiscernables sur le plan calculatoire, mais dont l’utilité dans la construction de primitives cryptographiques est avérée. Plus précisément, nous mettons en place une construction efficace d’une variante des fractions égyptiennes pour extraire notre LTF souhaitée. Nous visons ainsi à améliorer l’efficacité du schéma de chiffrement résistant à l’attaque à texte chiffré choisi (IND-CCA), et ce en faisant appel aux notions de tenseurs et de catégories, tout en démontrant l’ergodicité de ce processus. L’aspect pseudo-aléatoire des processus inspirés des fractions égyptiennes contribuera à ren- forcer la sécurité non seulement dans le schéma IND-CCA, mais aussi dans divers défis liés à l’hypothèse décisionnelle ou calculatoire de Diffie-Hellman (DDH, CDH), ce qui les rend très précieux pour la communication entre plusieurs agents.