On some class of degenerate elliptic problems in p(x) and anisotropic Sobolev spaces

Abstract

L’objectif de ce travail est d’étudier divers problèmes d’équations aux dérivées partielles non linéaires de type elliptique dans les espaces de Lebesgue anisotropes et les espaces de Sobolev à exposants variables. Ces problèmes font intervenir des opérateurs de type Leray-Lions et des données peu régulières.

Cette thèse est composée de deux parties, chacune comprenant trois chapitres.

Première partie

Chapitre I : Ce chapitre est entièrement consacré à la présentation du cadre fonctionnel des espaces anisotropes, dans lesquels les dérivées partielles faibles de la solution (u) sont intégrables avec différents exposants, regroupés dans le vecteur (\vec{p}=(p_1,\ldots,p_N)), où (1\leq p_i<+\infty), pour tout (i=1,\ldots,N).

Chapitre II : Dans ce chapitre, nous démontrons l’existence de solutions faibles au problème anisotrope suivant :

[ \begin{cases} -\displaystyle\sum_{i=1}^{N} \partial_{x_i}a_i(x,u,\nabla u) +\displaystyle\sum_{i=1}^{N}H_i(x,u,\nabla u) =f-\displaystyle\sum_{i=1}^{N}\partial_{x_i}g_i & \text{dans }\Omega,\[4pt] u=0 & \text{sur }\partial\Omega, \end{cases} \tag{1} ]

où (\Omega) est un sous-ensemble ouvert borné de (\mathbb{R}^N), avec (N\geq 2). Pour tout (i=1,\ldots,N), la fonction (a_i(x,u,\nabla u)) est une fonction de Carathéodory satisfaisant une condition d’ellipticité dégénérée et une condition de croissance par rapport à (u). Le terme d’ordre inférieur (H_i:\Omega\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}^N\to\mathbb{R}) est également une fonction de Carathéodory, qui satisfait uniquement une condition de croissance par rapport au gradient (\nabla u).

Chapitre III : L’objectif de ce chapitre est de démontrer l’existence et l’unicité de solutions entropiques pour le problème unilatéral associé à l’équation elliptique anisotrope quasi linéaire suivante :

[ \begin{cases} -\displaystyle\sum_{i=1}^{N} D_i a_i(x,u,\nabla u)+g(x,u)=f & \text{dans }\Omega,\[4pt] u=0 & \text{sur }\partial\Omega. \end{cases} \tag{2}