Résolution de problèmes mathématiques dans un environnement intégrant un logiciel de calcul formel

Abstract

Quels effets l’utilisation d’un logiciel de calcul symbolique et formel peut-elle avoir en mathématiques ? Quel peut être en particulier l’impact de l’emploi de DERIVE sur les pratiques mathématiques usuelles ? Quels changements peut-il impliquer sur les démarches des étudiants en situation de résolution de problèmes ? Ces questions ont en préalable amené à une étude des possibilités de traitement des logiciels actuels de calcul formel, qui se situent tout à fois les registres algébrique, numérique et graphique. Certaines de ces possibilités sont illustrées par des exemples exécutés sur les trois logiciels les plus connus : DERIVE, MAPLE et MATHEMATICA. Par ailleurs, l’utilisation du calcul formel est soumise à des contraintes, dues en particulier aux difficultés de la représentation interne des objets et des expressions mathématiques. Nous montrons la nature de telles difficultés par l’examen de quelques exemples. En nous basant sur des éléments théoriques tels, les notions de situation et de milieu de Brousseau, l’approche anthropologique de Chevallard, la transposition et transmutation informatique de Balacheff, l’approche instrumentale développée par Rabardel, nous avons conçu et réalisé une expérimentation qui s’appuie sur l’initiation au logiciel DERIVE et l’observation de binômes d’étudiants de la premières année universitaire. Les binômes sont observés séparément, traitant des problèmes mathématiques en utilisant librement DERIVE. Et les situations sont conçues pour induire deux types d’utilisation du logiciel : simplement en tant qu’assistant mathématique ou en tant qu’agent provoquant des interactions. Dans le premier cas, les tâches techniques (calcul ou représentation graphique pour les exemples étudiés) sont prises en charge. Dans le second cas, des changements notables se manifestent, dans l’appréhension et le traitement des questions proposées par rapport à ce qui se fait dans l’environnement usuel. Dans l’expérimentation, la distribution de rôles entre membres d’un même binôme est apparue similaire à celle qui se fait dans les sciences expérimentales. La méthode d’investigation a de plus permis que différents profils personnels de travail s’expriment et puissent être repérés.