Sur la continuité automatique dans certaines classes d'algèbres topologiques et bornologiques

Abstract

Dans ce travail, nous traitons le problème de la continuité automatique des homomorphismes et des dérivations dans certaines*­algèbres topologiques. Pour ce faire, nous introduisons et étudions sur une algèbre unitaire munie d’une involution*une notion que nous appelons *­semi simplicité. Elle repose sur l’étude de certains idéaux bilatères appelés *-idéaux. Dans la première partie, nous étudions la continuité automatique des homomorphismes dans les algèbres p-normées complètes*-simples (resp.*-semi-simples) (0 < p ≤ 1). Nous montrons que si В est une algèbre p-normée complète*-simple (resp.*-semi-simple), alors tout homomorphisme surjectif (ou à image dense) d’une algèbre p-normée complète A sur B est continu. En particulier, l’involution* sur B est automatiquement continue et les p-normes complètes sur B sont équivalentes. Quant au problème de la bornitude automatique des opérateurs linéaires, nous l’étudions dans certaines classes des *-algèbres bornologiques, à savoir la classe des *-algèbres bornologiques multiplicativement convexes complètes*-semi-simples. Le but principal de la troisième partie, est d’apporter des réponses partielles aux deux questions suivantes : (Q1) Est-ce que toute dérivation dans une algèbre de Banach semi-première est continue ? (Q2) Est-ce que out épimorphisme d’une algèbre de Banach sur une algèbre de Banach semi-première, toutes les normes d’algèbres de Banach sont équivalents ? Dans la quatrième partie, on se propose de généraliser les résultats de la continuité du 2° chapitre au cas des algèbres non associatives p-normées complètes (0 < p ≤ 1), notamment les algèbres de Jordan n.c. Nous montrons que si A est une algèbre de Jordan n.c. p-normées complète*- semi-simple, alors tout homomorphisme surjectif (ou à image dense) d’une algèbre de Jordan n.c.p-normée complète dans A continu.