Résultats d'existence pour certains problèmes semi-linéaires à la résonance

Abstract

Ce travail fait le point sur la résolubilité de certains problèmes elliptiques semi-linéaires. Nous nous intéressons d’une part aux résultats d’existence pour le problème : -∆u = ƒ(x,u) + h dans Ω u = 0 sur ∂Ω Où Ω est un ouvert borné de IR N et ƒ : Ω x IR → IR une fonction de Carathéodory. Notons par 0 < ₁ < ₂ < … < n → +∞ les valeurs propres de (-∆) sur H₀¹(Ω) et F(x,s) = ∫₀s ƒ(x,t)dt.

Nous établissons des résultats de résonance et de nonrésonance dans le cas où la nonlinéarité ƒ ou le potentiel F sont compris asymptotiquement entre deux valeurs propres consécutives de (-∆). D’autre part, nous montrons qu’une condition nécessaire et suffisante pour la nonrésonance du problème périodique : u" + ƒ(u) + h(x) = 0 dans [0,T] u(0) – u(T) = u’(0) – u’(T) = 0 Est que la nonlinéarité soit non bornée supérieurement et inférieurement dans, en imposant certaines conditions de nonrésonance sous la première valeur propre non nulle (2π/T)^2.