Estimation par région de confiance de la moyenne de lois à symétrie sphérique

Abstract

le travail que nous présentons dans cette thèse d’insère dans le cadre général de l’estimation de la moyenne õ d’une distribution à symétrie sphérique. Comme nous allons le voir dans le chapitre I qui est présenté sous forme d’historique, une bonne partie des efforts déployés dans ce sens a eu pour l’objet l’étude du problème d’admissibilité de l’estimateur des moindres carrés dans le cas normal multi varié. Le problème analogue concernant l’estimation par région de confiance n’a pas connu les mêmes développements ; les résultats se limitent en grande partie au cas normal multi varié de matrice de variance-covariance O² In où O² est connue. Cette situation est inappropriée à de nombreux problèmes statistiques réels, où O² est souvent inconnue (c’est particulièrement le cas du modèle linéaire). Notre contribution va en grande partie dans ce sens. Ainsi dans le chapitre II, nous établissons la minimaxité d la région usuelle dans le cas normal, dans le sens qu’elle minimise le maximum sur õ et O² de la moyenne du volume ‘standardisé’ (que nous définissons comme étant le rapport du volume sur la puissance K.ième de o, où K est la dimension de la moyenne). La démonstration de ce résultat, est basée sur des techniques utilisées par hooper [1]. Dans le même cadre qu’au chapitre II, nous reviendrons dans le chapitre III sur le travail de Robert et Saleh [2] pour discuter la condition imposée à O d’être minorée. Dans le chapitre IV, qui est indépendant des chapitres II et III, nous exploitons la décomposition de la loi de student en lois normales pour dominer la région usuelle par celle recentrée en l’estimateur de James-Stein, dans le cas où O est connue. Le Vème et dernier chapitre est consacré aux démonstrations de différents lemmes et passages techniques qu’on a isolés, afin d’alléger la présentation. Nous exposons à la fin de ce chapitre une idée qui a été utilisée en estimation ponctuelle (Strawderman [16]) et qui consiste à décomposer une loi à symétrie sphérique n-variété en lois uniformes (cela est possible en conditionnant par rapport au rayon) lorsque la moyenne est dans un sous espace propre ℝn. comme la projection d’une loi uniforme n-dimensionnelle (Voir Cellier et Fourdrinier [5] pour la définition) sur un sous espace propre ℝn admet une densité que l’on connait, il est possible d’obtenir des résultats si on peut surmonter certaines difficultés. Les annexes A, B et C correspondent respectivement aux chapitres II, III et IV.