Problèmes de topologie pour les Réels Irrationnels

Abstract

Nous étudions d’ne manière constructive quelques problèmes de topologie liés à l’ensemble Irr des réels irrationnels. L’approche constructive nécessite une notion forte d’un nombre irrationnel ; constructivement, un nombre réel est irrationnel s’il est clairement distinct de tout nombre rationnel. Nous montrons que l’ensemble Irr est en bijection avec l’ensemble Dfc des développements en fraction continue (dfc) infinis. Nous définissons deux extensions de Irr, l’une appelée Dfc1 est l’ensemble des dfc de rationnels et d’irrationnels en gardant pour chaque rationnel un seul dfc, l’autre appelée Dfc2 est l’ensemble des dfc de rationnels et d’irrationnels en gardant pour chaque rationnel ses deux dfc. Nous introduisons six distances naturelles sur Irr que nous notons dfc0, dfc1, dfc2, d, dmir et dcut. Nous montrons que seules les quatre distances dfc0, dfc1, d et dmir parmi les six font de Irr un espace métrique complet. Ces dernières y définissent la même topologie au sens constructif. Nous étudions ensuite l’ensemble Dfc1 en montrant que les irrationnels y forment une partie fermée. Enfin, nous faisons une étude particulière du complété Dfc2 de Dfc pour les deux distances métriquement équivalentes dfc2 et dcut.