Etude mathématique des petites oscillations de certains systèmes matériels plans comprenant un liquide parfait incompressible quasi homogène

Abstract

Dans ce travail de thèse, nous étudions, à l’aide des méthodes de l’analyse fonctionnelle, le problème des petites oscillations de certains systèmes matériels plans pesants comprenant un liquide parfait incompressible quasi-homogène, c’est-à-dire un liquide dont la densité à l’équilibre est pratiquement une fonction linéaire de la côte de la particule, voisine d’une constante. Notre travail est divisé en quatre chapitres. Dans le chapitre I, nous présentons une introduction à l’étude des ondes dans un liquide parfait pesant hétérogène. Cette étude nous a conduits à considérer le cas particulier du liquide quasi-homogène et à étudier en détails le cas d’un tel liquide remplissant complètement un récipient. Le chapitre II est consacré au cas du pendule partiellement rempli de liquide parfait quasi-homogène, celui-ci étant surmonté d’un gaz à pression constante. Dans le chapitre II, nous considérons le problème du récipient fixe contenant un liquide parfait quasi-homogène et un gaz en mouvement. Enfin, dans le chapitre IV, nous revenons au pendule, le liquide étant surmonté d’un gaz en mouvement. Dans les trois cas, nous démontrons que le spectre du problème se décompose en un spectre ponctuel constitué par un ensemble dénombrable de valeurs propres réelles positives admettant l’infini comme point d’accumulation et un spectre essentiel remplissant un intervalle fermé. Enfin nous donnons un théorème d’existence et d’unicité de la solution des problèmes d’évolution associés, à l’aide d’une formulation variationnelle convenable de ceux-ci et de la méthode de Lions-Magenes.