Contributions à l’étude d’équations différentielles non locales en temps univoques sur les espaces de Banach et applications

Abstract

L’objectif de cette thèse est d’étudier l’aspect qualitatif et quantitatif des systèmes dynamiques régis par des équations différentielles à retard. Cette thèse est composée de cinq chapitres. Le premier chapitre est considéré comme préliminaire ou nous avons rappelé les principaux résultats dont nous aurons besoin toute de suite. Dans le second chapitre, nous avons commencé par l’étude de l’existence de solutions faibles au sens d’Evans, puis lorsque l’espace de Banach possède la propriété de Radon-Nikodym, nous avons montré l’existence de solution forte pour une classe d’équations différentielles gouvernées par un opérateur m-accretif dans un cadre plus général concernant le cas multivoque, pour le cas univoque l’application des résultats obtenus reste valable. Pour montrer l’existence de la solution faible d’Evans la technique utilisée est celle du point fixe de Banach. Nous avons procédé par itérations (approximations de Kato) pour montrer la régularité de la solution forte. Dans le chapitre 3, nous avons abordé l’étude de l’existence des solutions faibles et fortes pour une classe d’équations différentielles de type neutre en se basant sur la technique d’extrapolation, l’importance de ces types d’équations réside dans leur forte présence dans plusieurs modèles caractérisant l’évolution d’un phénomène réel. La technique d’extrapolation est un procédé important pour étendre la solution à un espace plus large que l’espace de Banach où nous avons considéré l’équation. Ensuite nous avons traité le comportement qualitatif de la solution tout en mettant le point sur la stabilité autour du point d’équilibre et ceci est dû à l’étude du problème linéarisé au voisinage de l’équilibre. Dans le chapitre 4, nous revenons sur le problème du premier chapitre mais cette fois-ci dans un autre contexte, nous avons étudié l’existence de solutions faibles pour le problème de type neutre à celui que nous avons détaillé au début de la thèse. Enfin, dans le chapitre 5, nous avons mis l’accent sur l’existence de solutions pseudo presque automorphes pour cette classe d’équations. Nous avons établi un résultat sur la réduction de la complexité. En effet, nous avons utilisé l’existence de la dichotomie exponentielle ce qui donne un moyen très puissant pour aborder profondément l’étude qualitative des solutions. Nous présentons aussi un nouveau concept de la pseudo presque automorphy généralisée. Le long de ce travail de thèse, chaque étude théorique a été couronnée par des applications à des modèles ayant leurs origines aussi bien dans la dynamique de population que dans des phénomènes naturels de manière générale.