Contrôle optimal de problèmes à frontière libre et quelques applications en lubrification élastohudrodynamique

Abstract

Ce travail concerne le contrôle optimal de quelques problèmes issus de la lubrification hydrodynamique. Il porte essentiellement sur le contrôle par les coefficients dans le modèle de cavitation d’Elrod-Adams et quelques applications au problème de maximisation de la charge. On s’intéresse à reconstruire l’épaisseur du film d’un mécanisme lubrifié, à partir dela pression dans le film et éventuellement la concentration du lubrifiant. La difficulté principale est liée au terme ‘multiplication’, figurant dans l’équation d’état. Nous avons abordé ce problème par deux approches différentes. Dans un premier lieu, on a introduit une approximation régulière du graphe d’Heaviside, permettant de se ramener à un problème de contrôle différentiable, pour lequel on dérive les conditions d’optimalité. Moyennant des hypothèses convenables, on établit, par passage à la limite sur le paramètre de régularisation, des conditions d’optimalité pour le problème de contrôle initial, dans le cas unidimensionnel. A cet effet, nous avons adapté une technique, largement utilisée pour dériver des conditions d’ptimalité sous une forme non qualifiée pour des problèmes de contrôle mal posés. Cependant, le cas bidimensionnel reste un problème ouvert. Nous avons développé un algorithme de gradient régularisé, à pas optimal, pour résoudre numériquement le problème de contrôle approché. Une série de tests numériques effectuée, dans le cas du palierunidimensionnel, montre que l’épaisseur du film est bien identifiée. Dans un deuxième lieu, on interpréte l’équation d’état comme un problème de complémentarité, où la concentration du librifiant est considérée comme une variable de contrôle supplémentaire. On adapte une nouvelle approche, qui consiste à relaxer la contrainte d’égalité mixte non convexe et la contrainte sur l’état. Et afin de recouvrir les épaisseurs discontinues, on introduit un cadre fonctionnel plus général, faisant intervenir l’espace Bv (Ω) des fonctions à variation bornée. Nous avons dérivé, via des techniques de pénalisation, les conditions d’optimalité pour le problème relaxé, sous une forme non qualifiée, et montrè, à l’aide de la condition de qualification modifiée de Zowe et kurcyusz, que ces conditions sont qualifiées. De pont de vue numérique, on propose une méthode de Lagrangien augmenté pour résoudre le système d'optimalité associé au problème relaxé. Les résultats numériques obtenus avec cette méthode montrent que l’épaisseur du film est effectivement identifiée, si on dispose d’une information de la méthode du Lagranien augmenté, faisant intervenir une longueur de boucle, que nous avons validée sur l’exemple du palier bidimensionnel. Les résultats numériques obtenus montrent de nouveau que l’épaisseur du film est correctement reconstruite. Dans la dernière partie, on étudie le problème de l’optimisation de la charge dans le cadre de la lubrification hydrodynamique. Notre objectif est de déterminer un profil de film, pouvant supporter une charge maximale. Les tests numériques faits en 1D, conduisent au step de Rayleigh. Ce qui montre l’intérêt d’introduire le cadre général des fonctions à variation bornée.