Interpolation d’Hermite ou de Lagrange dans des espaces de super-splines composites dans le plan Éléments finis quadrilatéraux rationnels de classe C2 Éléments finis prismatiques de classe C1 dans IR3

Abstract

L’étude menée dans ce travail porte sur la construction d’interpolant d’Hermite et de Lagrange à deux ou trois variables de classe Cr, utilisant le minimum de données possibles et d’ordre d’approximation le plus élevé possible. Soient une triangulation ∆ et une quadrangulation , arbitraires (uniformes ou non) du plan , nous construisant des opérateurs d’interpolation d’Hermite aux sommets de ∆ ou de , en introduisant certaines sous-triangulations de ∆ et de . Ce problème est traité localement au départ, en généralisant les trois types d’éléments finis polynômiaux composites classiques suivants : les éléments de types HCT, FVS et PS respectivement. Après l’assemblage de ces éléments finis, nous obtenons des interpolants d’Hermite, lesquels sont formulés dans des splines de base locales que l’on construit dans des sous-espaces de splines polynômiales dits espaces de S-splines composites. Nous étudions en particulier les propriétés d’approximation de ces espaces et nous montrons que pour chacun des types de S-splines cités ci-dessus, ces interpolants sont de degré minimal. Par ailleurs, nous montrons l’existence de S-splines composites fondamentales à supports compacts, à l’aide des quelles, nous construisons des opérateurs d’interpolation de Lagrange sur des réseaux réguliers du plan aux points entiers de l’ensemble Z2, admettant les mêmes propriétés de régularité et d’approximation que celles des opérateurs d’Hermite. Pour le problème d’Hermite général, l’ordre des dérivées qui doivent être données aux sommets de ∆ ou de  est en général plus grand que r, lorsque r est strictement supérieure à 1. Nous donnons des formules d’interpolation pour r = 2, ne nécessitant que des données de dérivées d’ordre maximal 2. Ces formules sont obtenues en construisant des S-splines fondamentales polynômiales d’Hermite à supports bornés, réduisant les dimensions des espaces des éléments finis dans lesquels on interpole. Une autre approche de ce problème est également abordée. Il s’agit de construire des interpolant d’Hermite de classe C2, en employant de nouveaux éléments finis rationnels et quadrilatéraux. Un schéma unisolvent est présenté dans ce sens. L’extension des éléments finis composites de type PS à l’espace tridimensionnel est étudiée. Nous construisons un schéma d’interpolation prismatique interpolant la valeur et le gradient