Modélisation et étude de modèles mathématiques et informatiques en épidémiologie : Application à la dynamique de transmission de la tremblante dans un troupeau ovin

Abstract

L’objet de cette thèse est la modélisation et l’étude de modèles mathématiques et informatiques en épidémiologie, avec une application particulière : la propagation de la tremblante au sein d’un troupeau ovin. La tremblante est une encéphalopathie spongiforme transmissible, ou « maladie à prions », qui fait l’objet d’une surveillance accrue depuis la crise de la vache folle et que l’on cherche à éradiquer. La thèse combine deux approches de modélisation en épidémiologie. La première approche est fondée sur un modèle mathématique de dynamique de population de type SI (Susceptibles-Infectés), qui intègre en outre des composantes moins classiques, propres à la pathologie considérée et à la gestion du troupeau. La seconde repose sur un modèle individu-centré, avec une conception originale consistant à intégrer à la généalogie exacte des animaux du troupeau. La première partie de la thèse est consacrée à l’analyse mathématique du modèle de population. Il s’agit d’un modèle relativement réaliste, développé initialement par le groupe du Professeur M. Woolhouse de l’Université d’Edimbourg (Ecosse). Il consiste en un système complexe d’équations aux dérivées partielles hyperboliques non linéaires, avec des conditions aux bords non autonomes et non linéaires. L’objectif est donc de procéder à l’analyse de ce modèle, en étudiant l’existence et l’unicité de solutions, ainsi que leur comportement asymptotique. L’analyse repose sur la théorie des semi-groupes, qui consiste à réécrire le modèle de façon simplifiée sous la forme d’un problème de Gauchy abstrait. Les premiers résultats portent sur un cas particulier du modèle EDP. Ils ont ensuite été étendus au modèle général. La deuxième partie de la thèse consiste à élaborer un simulateur représentant la transmission de la tremblante au sein d’un troupeau ; sous le frome d’un modèle individu-centré (MIC). Le MIC est développé en Javas sous la plateforme Eclipse, à partir d’une interface mise au point par Jean-Pierre Treuil. Outre l’aspect programmation, cette étude comporte une réflexion méthodologique originale et intéressante sur la conception du MIC et sa confrontation aux données. Le MIC n’est pas classique, au sens où il intègre directement les données démographiques et ne simule que les processus épidémiologiques, qui ne sont que partiellement observables. Cette option de modélisation permet de mieux appréhender les paramètres épidémiologiques, mais elle nécessite des données de suivi de troupeau relativement complètes. Ces paramètres sont estimés par la minimisation d’un critère de distance aux données observées. La méthode implémentée est un algorithme de recherche aléatoire (par écart-type adaptatif), une méthode robuste permettant d’explorer un espace de paramètres borné. Un simulateur a ainsi été construit et calibré.