Modélisation et étude mathématique et informatique de modèles en dynamique urbaine, application à la ville de Marrakech.

Abstract

Ce travail rentre dans le cadre de la modélisation et de l’analyse mathématique et informatique de modèles en dynamique urbaine. Il vise à expliquer et analyser l’évolution, les transformations et la réorganisation spatiale des milieux urbains, résultantes de la multiplicité et la coexistence des processus, à l’aide des modèles à base d’équations différentielles. L’objectif essentiel de la thèse est triple : 1)-Etudier d’une manière générale les systèmes différentiels provenant de la modélisation de la dynamique urbaine et contribuer à élaborer une théorie mathématique de ces systèmes. 2)- Elaborer des modèles structurés de dynamique urbaine et en faire l’étude. 3)-développer un simulateur pour dégager des perspectives sur le devenir de la ville de Marrakech. L’analyse mathématique utilisée dans ce travail porte essentiellement sur l’étude théorique des différents modèles issus d’un modèle de base de P. Allen. Le premier modèle traité est celui de Miyata et Yamaghuchi. Ce modèle est une version modifiée du modèle de P. Allen, qui a été appliqué à la préfecture de hokkaido pour la période (1965-1985) connue par des problèmes socio-économiques importants. L’étude proposée par Miyata et al. Est purement numérique, nous avons complété cette approche par une étude théorique. Comme première étape du travail, nous avons pris le cas simplifié d’une région subdivisée en deux sous-régions (au lieu des quatorze zones). Le modèle simplifié obtenu, décrit la croissance de la population dans deux sous régions, il ressemble au modèle écologique proposé par Lotka Volterra, quand deux espèces sont en compétition pour les ressources. L’étude que nous avons faite est essentiellement basée sur l’utilisation des fonctions de Lyapounov et le principe de LaSalle. Ainsi nous avons obtenu une description complète de la dynamique su système. Ensuite, nous avons repris le modèle de Miyata et yamaghuchi. Ce modèle se présente comme un système complexe d’équations différentielles ordinaires fortement non linéaires qui fait interagir deux dynamiques, une dynamique lente due à l’évolution démographique et une dynamique rapide qui traduit le processus de migration entre les sous régions. Pour ce système, nous avons obtenu des résultats sur l’existence locale et globale, l’unicité de la solution et la stabilité des points d’équilibre. Plusieurs méthodes et techniques ont été mises en œuvre pour aboutir à ces résultats : des méthodes de changement d’échelle et la méthode de Lyapunov ont permis d’obtenir les résultats de la stabilité globale de l’équilibre intérieur. Des techniques de sous- et sur-solutions ont été utilisées pour dépasser des hypothèses restrictives liées à la nature du modèle. Les résultats mathématiques obtenus confirment ceux obtenus numériquement par Miyata et yamaguchi. Suite à l’étude du modèle de miyata et al. Un autre modèle a été construit et analysé. Le modèle est une version continue et spatialisée du modèle de Miyata et al. Ce dernier se présente comme un système d’équations différentielles fortement non linéaires décrivant l’évolution de la population et les emplois dans une région. Le traitement du système s’est révélé plus complexe que celui de Miyata à cause de la dimension du système et des non linéaires qui y figurent. Toutefois, nous avons pu vérifier que ce système préserve les deux dynamiques lentes et rapide et les mêmes caractéristiques que le modèle de Miyata. Après l’étude de ces deux derniers modèles ayant un caractère global, nous avons élaboré deux modèles structurés par le revenu des ménages. L’étude mathématique du premier modèle structuré par le revenu, dit de type Miyata, fait appel à différentes méthodes et techniques mathématiques à savoir la méthode d’agrégation des variables, technique des caractéristiques et théorie des semi-groupes d’évolution. L’étude approfondie de ce modèle fait l’objet des perspectives de cette thèse. Le deuxième modèle structuré par le revenu, dit de type P. Allen, fonde la dynamique entre zones sur une interaction de dynamique de population et de l’activité économique. Il utilise une notion de potentiel et d’attractivité économique par zone et il rajoute une notion de potentiel et d’attractivités résidentielles. Le modèle constitue la base d’un simulateur développé et fait à l’aide d’une plateforme JAVA et dont l’objectif est de représenter l’évolution de la population structurée par les revenus des habitants et les employés dans des zones. Une tentative d’application a été faite pour ce modèle- simulateur à la ville de Marrakech.