Contribution à l’optimisation globale : -problèmes d’optimisation Bi-Niveaux : Existence, approximation et conditions d’optimalité -problèmes d’optimisation à contraintes convexes renversées : stabilité et conditions d’optimalité

Abstract

Ce travail est consacré à l’étude de quelques classes de problèmes d’optimisation globale, à savoir les problèmes d’optimisation bi-niveaux et les problèmes à contraintes convexes renversées. Les problèmes d’optimisation bi-niveaux que nous considérons se divisent en trois classes : les problèmes bi-niveaux faibles, les problèmes bi-niveaux forts et les problèmes bi-niveaux à fonction valeur minimale. les problèmes bi-niveaux faibles appelés aussi les problèmes bi-niveaux à formulation pessimiste, sont connus dans la littérature par la difficulté qu’ils représentent dans leurs études, dans le cadre théorique et numérique. Ainsi, pour une classe de problèmes bi-niveaux faibles, en se basant sur une régularisation utilisant les e-solutions approchées du problème du second niveau, nous avons donné des conditions suffisantes assurant l’existence de solutions. Certaines de ces conditions relient ces problèmes bi-niveaux et les problèmes d.C. cette relation étant la première du genre dans le domaine, engendre alors plusieurs questions ouvertes dans l’optimisation globale. Dans le cas linéaire, nous avons établi via une pénalisation exacte un théorème d’existence de solutions sous des hypothèses non fortes, à savoir la bornitude des contraintes des deux niveaux. Ce théorème sur l’existence de solutions pourra alors servir comme référence dans le cas linéaire de la formulation pessimiste. Pour des problèmes bi-niveaux fort, appelés aussi problèmes à formulation optimiste, et dans le but de créer d’autres possibilités pour une éventuelle résolution numérique via d’autres problèmes d’optimisation globale, nous avons donné des résultats d’approximation respectivement par des problèmes à contraintes convexes renversées, des problèmes min-max à contraintes couplées, et des problèmes de maximisation d’une fonction polyédrique convexe sur un convexe compact. Pour des problèmes bi-niveaux à fonction minimale, des conditions nécessaires et suffisantes d’optimalité globale sont établies. Ces conditions utilisent des problèmes min-max à contraintes couplées et des problèmes de maximisation d’une fonction polyédrique convexe sur un ensemble convexe. Notons que notre étude faite sur les problèmes bi-niveaux forts, et les problèmes bi-niveaux à fonction valeur minimale, utilise la stabilité des problèmes à contraintes convexes renversées. Cette propriété fondamentale est obtenue via une notion de régularité des solutions de ces problèmes. Finalement, vu la relation étroite qui existe entre les problèmes bi-niveaux et les problèmes à contraintes convexes renversées, et la place importante occupée par ces derniers dans l’optimisation globale, notre travail a été achevé par l’étude d’une classe de problèmes à contraintes convexes renversées. Pour cette classe, nous avons donné des résultats de stabilité et des conditions nécessaires et suffisantes d’optimalité globale.