Dérivations et structures d'anneaux

Abstract

La théorie des dérivations date de l’époque de Newton et Leibnitz (17ème siècle). Récemment, un grand intérêt a été accordé à l’étude des dérivations en algèbre. Cela est justifié par leurs applications dans plusieurs domaines scientifiques à savoir la physique quantique et les nouvelles technologies de l’information (cryptographie, codage,…). Le présent travail traite la relation entre les dérivations et la structure des anneaux. Plus précisément, notre objectif principal consiste à la mise en évidence de certains critères de commutativité des anneaux en utilisant des applications spéciales définies sur ces anneaux, notamment dérivations, dérivations à gauche, dérivations de Jordan, dérivations généralisées et dérivation de Jordan généralisées. Etant donné que tout anneau premier peut être plongé dans un anneau σ-premier, pour une involution σ, les anneaux σ-premiers constituent donc une classe plus large que celle des anneaux premiers. Tenant compte de cette remarque, la quasi- totalité des travaux de cette thèse est une généralisation et/ou amélioration des résultats connus pour les anneaux premiers. Ainsi nous avons généralisé le célèbre théorème de E. Posner (1957) et quelques travaux de R. Awtar, H. E. Bell, J. Bergen, M. Bresar, I.N. Herstein, B. Hvala, J. Vukman et autres… Nous avons abordé également, l’étude des applications présevant fortement la commutativité. Plus précisément, nous avons caractérisé les homomorphismes et les anti-homomorphismes préservant fortement la commutativité sur une partie appropriée d’un anneau semi-premier. Une partie des résultats obtenus permet de retrouver et/ou de généraliser les travaux de M. S. Samman dans ce domaine.