Sur la divisibilité exacte par 3 du nombre de classes d'un corps cubique pur et problème de capitulation

Abstract

Soient = Q(³√n) un corps cubique pur, où n est en entier naturel sans facteurs cubes, k = Q(³√, j) sa clôture normale, Ek le groupe des unités de k, u l’indice du sous-groupe de Ek, engendré par les unités des corps intermédiaires de k/Q, dans Ek et hΓ le nombre de classes de Γ. Dans la première partie de ce travail, nous étudions le problème de la divisibilité exacte par 3 de hΓ, pour cela nous classifions les corps cubiques purs en quatre types A, B, C et D. pour le type A, nous donnons des conditions nécessaires et suffisantes sur n, moyennant la notion de reste cubique, pur que hΓ soit exactement divisible par 3 et l’indice u soit égal à 1. Pour les corps cubiques purs de type C, nous donnons des conditions nécessaires et suffisantes sur n, moyennant la notion de reste cubique pour que hΓ soit exactement divisible par 3, et nous en déduisons un critère de divisibilité par 9 du nombre de classes hΓ, puis nous donnons toute une famille de corps cubiques purs pour lesquels l’indice u est égal à 3. Pour les corps cubiques purs de type D, nous montrons que, ou bien 9/hΓ ou bien (3,hΓ) = 1, en donnant les formes de l’entier n pour chaque cas. Pour les corps cubiques purs de type B, nous prouvons que 3/hΓ et nous donnons des exemples qui montrent que la divisibilité exacte par 3 de h ne dépend pas des diviseurs premiers de n. Dans la deuxième partie, nous étudions le problème de capitulation des 3-classes d’idéaux de la clôture normale k d’un corps cubique pur de type C, dans des extensions cyclique cubiques non ramifiées de k, lorsque le 3-groupes d’idéaux H(k) de k est de type (3,3). Nos résultats sont illustrés par des exemples numériques.