Inversion de la transformation de Pompéiu locale dans les espaces hyperboliques

Abstract

Le sujet de la thèse est l’étude du problème de Pompéiu locale et de sa déconvolution dans l’espace hyperbolique quaternionique et le plan hyperbolique de Cayley. C’est un problème qu’on rencontre fréquemment dans de nombreux problèmes appliqués. Il s’agit de restituer un signal à partir de son observation à travers quelques appareils de mesures. En d’autres termes, étant donnée un signal défini sur une boule B, comment reconstituer ce signal à partir de ses intégrales pour le volume invariant) sur des coules contenues dans B ? Dans le cas du problème de Pompéiu le signal est connu par la connaissance de ses moyennes. On est confronté à la nécessité de mettre au point un algorithme permettant la restitution exacte de signal à partir de la connaissance de ses moyennes. Ce problème entre dans la catégorie des problèmes dits de déconvolution. Le problème local de la déconvolution a été résolu, en 1990, dans le cas euclidien par C. Berenstein R. Gay et A. Yger. La question se posait tout naturellement d’étendre leur résultat au cas des espaces hyperboliques. Le but de ce travail est la généralisation des résultats que nous avons établis dans les esapces hyperboliques réels et complexes à l’espace hyperbolique quaternionique et le plan hyperbolique de Calyley. Le présent travail est composé essentiellement de deux parties. Dans la première partie, (article écrit en collaboration avec M. Berkani et R. Gay à paraître dans ‘’Journal of Complex Variables ‘’), nous nous intéressons au problème local inverse des deux disques dans l’espace hyperbolique quaternionique. Il s’agit d’une généralisation naturelle du cas euclidien qui consiste à restituer les coefficients de Fourier d’un signal à partir de ses moyennes locales prises sur deux disques géodésiques. Pour restituer le signal, nous le décomposons dans une base d’harmoniques sphériques, puis nous calculons ses coefficients de Fourier correspondants à l’aide d’un remarquable résultat qui permet d’exprimer ces coefficients comme le produit de convolution hyperbolique de deux distributions dont l’une est radiale. Ensuite, on divise la distribution radiale pour faire apparaître les moyennes locales du signal sur les deux boules géodésiques. Pour pouvoir adapter le scénario de la division développée dans le cas euclidien, nous avons établi certains résultats qui donnent des développements asymptotiques très précis de produits de fonctions hypergéométriques, en dehors d’un ensemble exceptionnel et obtenir des majorations de type exponentiel. Malgré quelques difficultés techniques, nous avons pu établir, en utilisant les transformées de Fourier et de Fourier sphérique hyperboliques et leurs formules d’inversions, notre résultat principal qui permet de restituer les coefficients de développement du signal en séries de Fourier d’une manière explicite. En retombé de ce théorème principal on obtient l’injectivité de la transformation de Pompéiu locale, puis on donne un corollaire sur le théorème de Morera dans l’espace quaternionique. Dans la deuxième partie on étudie le même problème dans le plan hyperbolique exceptionnel des octonions et on donne les grandes lignes nécessaires pour la reconstitution du signal.