Sur quelques problèmes d'inéquations variationnelles

Abstract

Deux parties font l’objet du présent manuscrit : Première partie : On établit une nouvelle formulation de quelques problèmes d’inéquations variationnelles. Cette formulation est établie premièrement sous une forme abstraite dans des espaces de Hilbert V et H, tels que V ⊂ H ⊂ V¹ : (P) u K ∩ V ; a(u,v – u) + (ƒ,v – u) ≥ 0, v  K ∩ V, Où K est un cône convexe fermé dans H, a(.,.) et (.,.) sont respectivement les produits scalaires de V et H. on donne une fonction convexe et continue sur V à valeurs dans R, dont on peut caractériser son sous-différentiel et le problème (P) devient équivalent à un problème d’inéquation variationnelle défini sur l’espace V tout entier, et équivalent aussi à un problème d’équation. On applique cette technique à un problème d’inéquation en dimension finie, les problèmes d’obstacles unilatéral et bilatéral, et à un problème de deux membranes. Une approximation du problème d’obstacle unilatéral par la méthode des éléments finis est faite. Deuxième partie : On construit une fonction degré topologique pour les opérateurs de la forme L + A + S de D(L) X vers 2x°, où A est un opérateur maximal monotone borné, L est une application linéaire maximale monotone à domaine D(L) dense dans l’espace de Banach réflexif x et S est une application bornée demi-continue de classe (S+) par rapport à D(L). Par le moyen de cette fonction degré topologique, on montre un résultat d’existence, qui sera appliqué pour transformer un problème d’obstacle associé à un opérateur parabolique non linéaire.