Spectre de Fucik conique : Etude d'un problème non autonome, elliptique et non résonant

Abstract

Le présent travail concerne l’étude du spectre de Fucik conique (noté SFC(A) constitué des couples (a,b) de IR²+ pour lesquels l’équation Au = auk + buk° admet une solution non triviale ; A est un opérateur linéaire continu, auto-adjoint, défini positif et compact sur un espace de Hilbert H, et uk+uk° désigne la décomposition de u (dûe à J.J. Moreaux) relativement à un cône convexe fermé K (K ⊂ H) et son cône polaire K° = {u  H / (u,v) ≤ 0 v  K}. Comme application nous introduisons l’opérateur A = (-∆)⁻¹ sur l’espace de Hilbert H = L²(Ω) et nous étudions le problème non résonant suivant : (P) -∆u = ƒ (x,u) + h(x) dans Ω u = 0 sur ∂Ω. Où h  L²(Ω) et ƒ : Ω x IR → IR est une fonction de Carathéodory vérifiant une hypothèse de croissance et satisfaisant des conditions aux limites relatives au spectre de Fucik conique