Méthodes d'approximation par des fonctions splines à plusieurs variables

Abstract

Deux parties font l’objet de ce travail : Partie I : Cette partie, constituée par les chapitres 1 et 2, est consacrée à l’étude du problème d’interpolation. Dans le chapitre 1, nous développons une méthode récursive pour le calcul des interpolants de Lagrange associés à un ensemble de nœuds Xn = {x₀, …, xn}et qui sont définis sur un espace de fonctions Vn engendré par n + 1 fonctions linéairement indépendantes v₀, …, vn. Nous appliquons cette méthode pour construire récursivement les interpolants de Lagrange splines et les interpolants de Lagrange définis par un produit tensoriel. Nous établissons aussi une autre méthode récursive pour le calcul des interpolants d’Hermite-Birkhoff. Dans le chapitre 2, nous utilisons le procédé récursif pour développer un algorithme qui permet de construire un espace d’interpolation dit espace d’interpolation minimal qui est une généralisation des espaces d’interpolation qui existent dans la littérature. De plus, cet algorithme est moins coûteux en termes d’opérations arithmétiques et de stockage dans la mémoire par rapport aux autres algorithmes existants. Nous développons aussi un deuxième algorithme intéressant qui permet la construction récursive de l’espace d’interpolation minimal. Partie : Dans cette partie nous introduisons une nouvelle approche pour construite des quasi-interpolants discrets et différentiels. Cette approche est basée essentiellement sur le calcul de la forme polaire d’un approximant polynomial local qui a un ordre d’approximation optimal. Dans le chapitre 3, nous établissons une nouvelle représentation des polynômes de l’espace P₂ (R²) et des splines s de l’espace S₂¹(Δ*) via l’opérateur «Floraison. Nous utilisons cette représentation ainsi que la nouvelle approche pour construire des schémas de quasi-interpolants exacts sur l’espace S₂¹(Δ*) ou l’espace P₂(R²). Dans le chapitre 4, nous appliquons, la même approche pour construite des quasi-interpolants splines simpliciales discrets et différentiels qui présentent un ordre d’approximation optimal dans l’espace des DMS-splines à deux variables et de degré n. Le chapitre 5 est consacré à la construction dans R³ d’une nouvelle base normalisée sur une tétraédrisation de type Powell-Sabin généralisée. Cette ase est utilisée dans le chapitre 6 pour construire de très intéressants quasi-interpolants discrets et différentiels à trois variables. Ces quasi-interpolants fournissent un ordre d’approximation égal à 3, ce qui n’est pas le cas pour certains quasi-interpolants de même type existants dans la littérature. Pour avoir un ordre d’approximation élevé nous avons construit, dans le chapitre7, des quasi-interpolants splines simpliciales en utilisant les DMS B-splines à trois variables et de degré n.