Une nouvelle approche de la théorie des points critiques à travers des modules de non régularité et application à la résolution d'équations différentielles non-linéaires

Abstract

Dans ce travail nous introduisons une nouvelle notion que nous appelons module de non régularité pour mesurer la non régularité locale d’une fonction définie sur un espace métrique au voisinage d’un point donné. Nous utilisons l’idée de déformation qui est à la base des théories de points critiques au sens de Morse et de Ljusternick-Schnirelman. Nous donnons des exemples de modules de non régularité qui nous permettent de retrouver la théorie des points critiques pour des fonctions de classe C définies sur des espaces de Bancah, la théorie non lisse récemment introduite et développée par Clarke pour les fonctions localement lipschitziennes et le traitement encore plus récent (postérieur à 1994) des fonctions continues sur un espace métrique par Degiovanni-Marzocchi et Katriel. Nous établissons une théorie de points critiques pour la notion de module que nous avons introduit pour des fonctions continues définies sur des espaces métriques étendant ainsi les résultats de minimaux établis dans le cadre des théories citées ah hoc. En particulier, nous retrouvons tous les résultats d’entrelacements que nous avons établis dans notre thèse de D.E.S. Dans une seconde partie, nous étendons la stratégie classique des méthodes variationnelles dans le traitement des problèmes aux limites à la théorie non régulière de Degiovanni-Marzocchi et retrouvons comme cas particulier les développements récents apportés par Anane et Chakrone à l’étude de problèmes de non résonance sous la première valeur propre pour le p-Laplacien en présence de non linéarité forte.